Алгебра ( универсальная алгебра ) — множество ${\displaystyle A}$ , называемое носителем алгебры , снабжённое набором ${\displaystyle n}$ - арных алгебраических операций на ${\displaystyle A}$ , называемым сигнатурой , или структурой алгебры. Иными словами, универсальной алгеброй является алгебраическая система с пустым множеством отношений .

Свойства

Для универсальных алгебр имеет место теорема о гомоморфизме: если ${\displaystyle \varphi :A\rightarrow A'}$ — гомоморфизм алгебр, а ${\displaystyle \theta }$ — ядерная конгруэнция ${\displaystyle \varphi }$ (то есть ${\displaystyle \theta =\{(x,y)\in A\times A|\varphi (x)=\varphi (y)\}}$ ), то факторалгебра ${\displaystyle A/\theta }$ изоморфна ${\displaystyle A'}$ .

Для универсальных алгебр исследованы сопутствующие структуры: группа автоморфизмов ${\displaystyle \mathbf {Aut} A}$ , моноид эндоморфизмов ${\displaystyle \mathbf {End} A}$ , решётка подалгебр ${\displaystyle \mathbf {Sub} A}$ , решётка конгруэнций ${\displaystyle \mathbf {Con} A}$ , в частности, показано, что для любой группы ${\displaystyle G}$ и решёток ${\displaystyle L_{0}}$ и ${\displaystyle L_{1}}$ существует такая универсальная алгебра ${\displaystyle A}$ , что ${\displaystyle G\cong \mathbf {Aut} A}$ , ${\displaystyle L_{0}\cong \mathbf {Sub} A}$ , ${\displaystyle L_{1}\cong \mathbf {Con} A}$ .

Универсальная алгебра с одной бинарной алгебраической операцией называется группоидом (магмой) .

См. также

• Теоремы об изоморфизме

Литература

• Кон П. Универсальная алгебра. — М. : Мир , 1969. — 351 с.
• Артамонов В. А. и др. Общая алгебра, в 2-х томах. — М. : Наука , 1990—1991. — 592 с + 480 с. с.
• Скорняков Л. А. Универсальная алгебра — статья из Математической энциклопедии