Алгебраическая система в универсальной алгебре — непустое множество ${\displaystyle G}$ ( носитель ) с заданным на нём набором операций и отношений ( сигнатурой ). Алгебраическая система с пустым множеством отношений называется алгеброй , а система с пустым множеством операций — моделью .

${\displaystyle n}$ -арная операция на ${\displaystyle G}$ — это отображение прямого произведения ${\displaystyle n}$ экземпляров множества в само множество ${\displaystyle G^{n}\to G}$ . По определению, нульарная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать, но в связи с нуждами топологии , алгебры , комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности , здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними ( мультиоператорных алгебр ).

Понятие возникло из наблюдений за общностью конструкций, характерных для различных общеалгебраических структур, таких как группы , кольца , решётки ; в частности, таковы конструкции (обобщающей понятия подгруппы , подкольца , подрешётки соответственно), гомоморфизма , изоморфизма , факторсистемы (обобщающей соответственно конструкции фактогруппы , факторкольца , ). Эта общность изучается в самостоятельном разделе общей алгебры — универсальной алгебре , при этом получен ряд содержательных результатов, характерных для любых алгебраических систем, например, такова , которая в случае алгебраической системы без заданных отношений — алгебры — уточняется до теорем об изоморфизме , известных ранее из теории групп и теории колец .

В математике с той или иной степенью строгости также используется понятие « алгебраической структуры ». В частности, у Бурбаки оно формализовано как множество, наделённое операциями; при этом множество, наделённое отношениями (наличие которых возможно для алгебраической системы), уже рассматривается как математическая структура другого рода — структура порядка . Однако и не все алгебраические структуры описываются алгебраическими системами без дополнительных конструкций, в качестве примера таковых можно упомянуть коалгебры , биалгебры , алгебры Хопфа и над ними; кроме того, даже для определения таких классических структур, как модуля над кольцом или алгебры над полем , в универсальной алгебре используются такие искусственные конструкции, как определение для каждого элемента кольца (поля) унарной операции умножения на этот элемент.

Основные классы алгебраических систем

• Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций и отношений .

Группоиды, полугруппы, группы

• Группоид — множество с одной бинарной операцией ${\displaystyle \cdot :G\times G\to G}$ , обычно называемой умножением .
• Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение ${\displaystyle x\cdot a=b}$ имеет единственное решение для любых ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ .
• Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппа.
• Лупа — квазигруппа с нейтральным элементом ${\displaystyle e\in G}$ , таким, что ${\displaystyle a\cdot e=e\cdot a=a}$ .
• Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно : ${\displaystyle a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c}$ .
• Моноид — полугруппа с нейтральным элементом.
• Группа — моноид, в котором для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a ⁻¹ , такой, что ${\displaystyle a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e}$ .
• Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна , то есть ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ . Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца

• Кольцо — структура с двумя бинарными операциями (абелева группа по сложению с заданной второй ассоциативной бинарной операцией — умножением), в которой выполняется закон дистрибутивности : ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$ .
• Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
• Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.

• Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
• Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

• Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
• Почтикольцо — также обобщение кольца, отличающееся от обычного кольца отсутствием требования коммутативности сложения и отсутствием требования дистрибутивности умножения по сложению (левой или правой)

Алгебры

• Алгебра — линейное пространство с билинейной дистрибутивной операцией умножения, иначе говоря, кольцо с согласованной структурой линейного пространства
• Ассоциативная алгебра — алгебра с ассоциативным умножением
• Коммутативная алгебра
• Градуированная алгебра
• Алгебра Ли — алгебра с антикоммутативным умножением (обычно обозначаемым ${\displaystyle [a,b]}$ ), удовлетворяющим тождеству Якоби ${\displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0}$
• — алгебра с умножением (обычно обозначаемым ${\displaystyle [a,b]}$ ), удовлетворяющим тождеству Якоби ${\displaystyle [a,[b,c]]+[b,[c,a]]+[c,[a,b]]=0}$
• — коммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: ${\displaystyle x^{2}(yx)=(x^{2}y)x}$
• — некоммутативная алгебра с тождеством слабой ассоциативности: ${\displaystyle x^{2}(yx)=(x^{2}y)x}$ и тождеством эластичности: ${\displaystyle x(yx)=(xy)x}$
• Альтернативная алгебра — алгебра с тождествами ${\displaystyle x^{2}y=x(xy),\quad yx^{2}=(yx)x}$
• Алгебра Мальцева — антикоммутативная алгебра с тождеством :

  ${\displaystyle (xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x}$

• Коммутантно-ассоциативная алгебра
• Алгебра над операдой — один из наиболее общих видов алгебраических систем. Здесь сама операда играет роль сигнатуры алгебры.

Решётки

• Решётка — структура с двумя коммутативными, ассоциативными, идемпотентными операциями, удовлетворяющими .
• Булева алгебра .

Примечания

Литература

• Артамонов В. А. . Глава VI. Универсальные алгебры // Общая алгебра / Под общ. ред. . — М. : Наука , 1991. — Т. 2. — С. 295—367. — 480 с. — (Справочная математическая библиотека). — 25 000 экз. — ISBN 5-9221-0400-4 .
• Кон П. Универсальная алгебра. — М. : Мир , 1969. — 351 с.
• Мальцев А. И. Алгебраические системы. — М. : Наука , 1970. — 392 с. — 17 500 экз.