Мартинга́л в теории случайных процессов — такой случайный процесс , что наилучшим (в смысле среднеквадратичного) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.

Мартингалы с дискретным временем

• Последовательность случайных величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем , если

1. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} }$ ;
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }$ .

• Пусть дана другая последовательность случайных величин ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ . Тогда последовательность случайных величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ называется мартингалом относительно ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ или ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ -мартингалом, если

1. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} }$ ;
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N} }$ .

Мартингалы с непрерывным временем

Пусть есть вероятностное пространство ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ с заданной на нём фильтрацией ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}}$ , где ${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$ . Тогда случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T}}$ называется мартингалом относительно ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ , если

1. ${\displaystyle X_{t}}$ измерима относительно ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ для любого ${\displaystyle t\in T}$ .
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T}$ .
3. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}}$ почти наверное , ${\displaystyle \quad \forall s,t\in T,\;s\leq t}$ .

Если в качестве ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ взята естественная фильтрация ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}}$ , то ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ называют просто мартингалом.

Суб- и супермартингалы

• Пусть дана последовательность случайных величин ${\displaystyle \{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ . Тогда последовательность случайных величин ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ называется су́б(су́пер)мартингалом относительно ${\displaystyle \{Y_{n}\}}$ , если

1. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} ;}$
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq (\leq )X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .}$

• Случайный процесс ${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in T},\;T\subset \mathbb {R} }$ называется суб(супер)мартингалом относительно ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ , если

1. ${\displaystyle X_{t}}$ измерима относительно ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ для любого ${\displaystyle t\in T}$ .
2. ${\displaystyle {\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T}$ .
3. ${\displaystyle {\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq )X_{s},\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t}$ .

Если в качестве ${\displaystyle \{{\mathcal {F}}_{t}\}}$ взята естественная фильтрация ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}}$ , то ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ называют просто суб(супер)мартингалом.

Свойства

• Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
• Если ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ — мартингал, то ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{t}=\mathrm {const} }$ .
• Если ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ — субмартингал, то ${\displaystyle \{-X_{t}\}}$ — супермартингал.
• Если ${\displaystyle \{X_{t}\}}$ является мартингалом, а ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ — выпуклая функция , то ${\displaystyle \{f(X_{t})\}}$ — субмартингал. Если ${\displaystyle f}$ — вогнутая функция , то ${\displaystyle \{f(X_{t})\}}$ — супермартингал.
• Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом .
  • Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом.
• Верна о сходимости мартингалов

Примеры

• Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении «орла» игрок выигрывает 1 руб. , а при выпадении «решки» проигрывает 1 руб. Тогда:
  • если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом;
  • если выпадение «орла» более вероятно, то состояние игрока — субмартингал;
  • если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока — супермартингал.

• Винеровский процесс (это математическая модель броуновского движения ) является мартингалом.

Примечания