Теорема Майерса — классическая теорема в римановой геометрии .

Формулировка

Если кривизна Риччи полного ${\displaystyle n}$ -мерного риманова многообразия ${\displaystyle M}$ ограничена снизу положительной величиной ${\displaystyle (n-1)k}$ при некотором ${\displaystyle k}$ , то его диаметр не превосходит ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$ . Более того, если диаметр равен ${\displaystyle \pi /{\sqrt {k}}}$ , то само многообразие изометрично сфере постоянной секционной кривизны ${\displaystyle k}$ .

Следствия

Этот результат остается в силе для универсального накрытия такого риманова многообразия ${\displaystyle M}$ . В частности, универсальное накрытие ${\displaystyle M}$ конеченолистно и значит фундаментальная группа ${\displaystyle \pi _{1}M}$ конечна.

История

Для двумерных поверхностей, теорема была доказана Хопфом и Риновым.

Теорема иногда называется в честь Оссиана Бонне из-за другого его результата о классификации поверхностей с положительной Гаусовой кривизны, (этот результат не относится напрямую к утверждению теоремы Майерса).

Теорема доказана .

Случай равенства в теореме был доказан Ченгом в 1975 году.

См. также

• Теорема Громова о компактности (Риманова геометрия)

Примечания