Имплика́ция (от лат. «связь; сплетение») — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам « если …, то …» .

Импликация записывается как посылка ${\displaystyle \Rightarrow }$ следствие ; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону, но всегда указывающие на следствие.

Суждение , выражаемое импликацией, выражается также следующими способами :

• посылка является условием, достаточным для выполнения следствия:
• следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Импликация играет очень важную роль в умозаключениях. С её помощью формулируются определения различных понятий, теоремы, научные законы .

При учёте смыслового содержания высказываний импликация подразумевает причинную связь между посылкой и заключением .

Булева логика

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества ${\displaystyle \{0,1\}}$ . Результат также принадлежит множеству ${\displaystyle \{0,1\}}$ . Вычисление результата производится по простому правилу либо по таблице истинности . Вместо значений ${\displaystyle 0,1}$ может использоваться любая другая пара подходящих символов, например ${\displaystyle \operatorname {false} ,\operatorname {true} }$ или ${\displaystyle F,T}$ или «ложь», «истина».

Правило:

Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, операция ${\displaystyle A\to B}$ — это сокращённая запись выражения ${\displaystyle \neg A\lor B}$ .

Таблицы истинности:

прямая импликация (от a к b, ${\displaystyle \neg A\lor B}$ ) ( (англ.) ( , (англ.) ( )

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\to b,a\leqslant b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

• если первый операнд не больше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a\leqslant b}$ , то истинно (1).

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания её таблицы истинности может пригодиться житейская модель:

А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0).

В — подчинённый. Он может работать (1) или бездельничать (0).

В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчинённого начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчинённый бездельничает.

обратная импликация (от b к a , ${\displaystyle A\lor (\neg B)}$ )

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle a\leftarrow b,a\geqslant b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$

• если первый операнд не меньше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a\geqslant b}$ , то истинно (1).

Обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента).

отрицание (инверсия, негация) прямой импликации ( ${\displaystyle A\land (\neg B)}$ )

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle \lnot (a\to b),a>b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

• если первый операнд больше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a>b}$ , то истинно (1).

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации ( ${\displaystyle \lnot A\land B}$ ), разряд займа в двоичном полувычитателе .

${\displaystyle a}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle \lnot (a\leftarrow b),a<b}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 0}$

• если первый операнд меньше второго операнда, то 1,
• если ${\displaystyle a<b}$ , то истинно (1).

Другими словами, две импликации (прямая и обратная) и две их инверсии — это четыре оператора отношений. Результат операций зависит от перемены мест операндов.

Синонимические импликации выражения в русском языке

• Если А , то Б
• Б в том случае, если А
• При А будет Б
• Из А следует Б
• В случае А произойдёт Б
• Б , так как А
• Б , потому что А
• А — достаточное условие для Б
• Б — необходимое условие для А
• А имплицирует Б
• А влечёт Б

Многозначная логика

Теория множеств

Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого. Импликация обозначается символом ${\displaystyle \Rightarrow }$ , и ей соответствует вложение множеств: пусть ${\displaystyle A\subset B}$ , тогда

${\displaystyle x\in A\Rightarrow x\in B.}$

Например, если ${\displaystyle A}$ — множество всех квадратов, а ${\displaystyle B}$ — множество прямоугольников, то, конечно, ${\displaystyle A\subset B}$ и

( a — квадрат) ${\displaystyle \Rightarrow }$ ( a — прямоугольник).

(если a является квадратом, то a является прямоугольником).

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом .

Можно доказать эквивалентность импликации ${\displaystyle A\rightarrow B}$ формуле ${\displaystyle \neg A\lor B}$ (с первого взгляда более очевидна её эквивалентность формуле ${\displaystyle \neg (A\land \neg B)}$ , которая принимает значение «ложь» в случае, если выполняется A (посылка), но не выполняется B (следствие)). Поэтому любое высказывание можно заменить на эквивалентное ему без знаков импликации.

Этот раздел не завершён . Вы поможете проекту, исправив и дополнив его.

Интуиционистская логика

В интуиционистской логике импликация никоим образом не сводится к отрицаниям . Скорее напротив, отрицание ¬A можно представить в виде ${\displaystyle A\rightarrow \nvDash }$ , где ${\displaystyle \nvDash }$ — пропозициональная константа «ложь». Впрочем, такое представление отрицания возможно и в классической логике.

В интуиционистской теории типов импликации соответствует множество (тип) отображений из A в B.

Логика силлогизмов

В учении о силлогизмах импликации отвечает «общеутвердительное атрибутивное высказывание».

Лингвистика

В лингвистике под импликацией (от implicāre «вплетать, впутывать») понимается использование в предложении неявных (имплицитных) словесных выражений, в том числе недосказанность в виде упущения одного или нескольких существительных в определительной цепочке. Так, например, А.Д. Швейцер и Б.Н. Климзо в своих трудах для переводчиков с английского языка и на английский выделяют 7 типов импликаций, которые надо учитывать: первые должны устранять в своих переводах импликации, неприемлемые в русском языке, а вторым полезно использовать английские импликации с целью компрессии текста.

См. также

• Идентичность
• Отрицание
• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Эквиваленция
• Исключающее или
• Обратная импликация
• Штрих Шеффера
• Стрелка Пирса
• Условная дизъюнкция
• Таблица истинности
• Закон тождества

Примечания

Литература

• Эдельман С. Л. Математическая логика. — М. : Высшая школа, 1975. — 176 с.
• Задачник-практикум по математической логике. — М. : Просвещение, 1986. — 158 с.
• Гиндикин С. Г. Алгебра логики в задачах. — М. : Наука, 1972. — 288 с.
• Барабанов О. О. Импликация / Труды XI международных Колмогоровских чтений: сборник статей. — Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2013. С.49-53.
• Климзо Б.Н. Ремесло технического переводчика. — М.: «Р.Валент», 2003. — 288 с. С.75-84.
• Швейцер А.Д. Перевод и лингвистика. — М.: «Воениздат», 1973.

Ссылки

• в учебнике MathIt

В статье есть список источников , но в этом разделе не хватает сносок . Без сносок сложно определить, из какого источника взято каждое отдельное утверждение. Вы можете улучшить статью, проставив сноски на источники , подтверждающие информацию. Сведения без сносок могут быть удалены . ( 15 апреля 2010 )