Коммутативность конъюнкции — общезначимая логическая форма аргумента и истинностно-функциональная тавтология , в логике высказываний . Рассматривается как закон классической логики . Согласно данному принципу, конъюнкты логической связки могут меняться местами друг с другом, сохраняя при этом истинностное значение итогового высказывания.

Формальное обозначение

Коммутативность конъюнкции может быть сформулирована, в исчисление секвенций , следующим образом:

${\displaystyle (P\land Q)\vdash (Q\land P)}$

и

${\displaystyle (Q\land P)\vdash (P\land Q)}$

где ${\displaystyle \vdash }$ — значение металогического символа, такое, что ${\displaystyle (Q\land P)}$ является синтаксическим следствием ${\displaystyle (P\land Q)}$ в одном случае, а ${\displaystyle (P\land Q)}$ является синтаксическим следствием ${\displaystyle (Q\land P)}$ в другом, в некоторой формальной системе .

или в форме правила вывода :

${\displaystyle {\frac {P\land Q}{\therefore Q\land P}}}$

и

${\displaystyle {\frac {Q\land P}{\therefore P\land Q}}}$

где действует правило, что везде, где есть экземпляр « ${\displaystyle (P\land Q)}$ » встречается в одной из строк доказательства, то его можно заменить на « ${\displaystyle (Q\land P)}$ » , и где бы ни находился экземпляр « ${\displaystyle (Q\land P)}$ » появляется в строке доказательства, то может быть заменён на « ${\displaystyle (P\land Q)}$ » ;

или как утверждение истинностно-функциональной тавтологии или теоремы логики высказываний:

${\displaystyle (P\land Q)\to (Q\land P)}$

и

${\displaystyle (Q\land P)\to (P\land Q)}$

где ${\displaystyle P}$ и ${\displaystyle Q}$ — пропозиции , выраженные в некоторой формальной системе .

Обобщённый принцип

Для любых пропозиций H ₁ , H ₂ , ... H _n и перестановки σ(n) чисел от 1 до n, справедливо, когда:

Ч ₁ ${\displaystyle \land }$ Ч ₂ ${\displaystyle \land }$ ... ${\displaystyle \land }$ H _n

эквивалентно

H _σ(1) ${\displaystyle \land }$ H _σ(2) ${\displaystyle \land }$ H _σ(n) .

Например, если H ₁ это:

Идёт дождь

H ₂ значит

Сократ смертен

и H ₃ равен

2+2=4

тогда

Идёт дождь, и Сократ смертен, и 2+2=4

эквивалентно

Сократ смертен, а 2+2=4, и идёт дождь

и другие варианты порядка следования предикатов .

Наглядный пример

Предположим два высказывания :

• A: читать книгу.
• B: слушать музыку.

Теперь составим из них конъюнкцию , то есть высказывание, которое истинно тогда и только тогда , когда истинны оба компонента:

• A и B: читать книгу и слушать музыку.

Но также можно поменять местами A и B, получив другую конъюнкцию:

• B и A: слушать музыку и читать книгу.

Заметим, что обе конъюнкции имеют одинаковое значение истинности , то есть они эквивалентны и конъюнкция коммутативна , то есть не зависит от порядка своих компонентов.

Формальная запись выглядит так:

• A и B = B и A

или, используя символы логики:

• A ⋀ B = B ⋀ A

Это утверждение является тавтологией , то есть всегда истинным независимо от значений A и B.

Примечания