Фуксова группа — дискретная подгруппа группы PSL(2, R ) . Группа ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ может рассматриваться как группа движений гиперболической плоскости или конформные отображения единичного диска, или конформные отображения верхней полуплоскости . Соответственно, фуксову группу, можно рассматривать как группу, действующую на любом из этих пространств. В других трактовках фуксова группа определяется как группа с , либо как подгруппа ${\displaystyle \mathrm {PGL} (2,\mathbb {R} )}$ , содержащая сохраняющие ориентацию элементы. Также приемлемо определение фуксовой группы как клейновой (дискретная группа of ), которая сопряжена с подгруппой группы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ .

Фуксовы группы используются для создания фуксовой модели римановых поверхностей . В этом случае группа может быть названа фуксовой группой поверхности . В некотором смысле, фуксовы группы делают для неевклидовой геометрии то же, что и кристаллографические группы делают для евклидовой геометрии . Некоторые рисунки Эшера построены на основе фуксовых групп (для дисковой модели геометрии Лобачевского ).

Общие фуксовы группы первым изучал Анри Пуанкаре , заинтересованный статьей Лазаруса Фукса , от имени которого и происходит это название.

Фуксовы группы на верхней полуплоскости

Пусть ${\displaystyle \mathbb {H} =\{z\in \mathbb {C} :\mathrm {Im} (z)>0}$ будет верхней полуплоскостью . Тогда ${\displaystyle \mathbb {H} }$ является моделью гиперболической плоскости , которая снабжена метрикой

${\displaystyle ds={\frac {1}{y}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}.}$

Группа PSL(2, R ) действует на ${\displaystyle \mathbb {H} }$ дробно-линейным преобразованием (которое известно как преобразования Мёбиуса ):

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}.}$

Это действие эффективно и фактически ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ изоморфно группе всех сохраняющих ориентацию движений of ${\displaystyle \mathbb {H} }$ .

Фуксова группа ${\displaystyle \Gamma }$ может быть определена как подгруппа группы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ , которая действует разрывно на ${\displaystyle \mathbb {H} }$ . То есть

• Для любого z в ${\displaystyle \mathbb {H} }$ орбиты ${\displaystyle {\Gamma }z=\{{\gamma }z\colon \gamma \in \Gamma \}}$ не имеют предельных точек в ${\displaystyle \mathbb {H} }$ .

Эквивалентное определение — группа ${\displaystyle \Gamma }$ фуксова, когда ${\displaystyle \Gamma }$ дискретна . Это означает, что:

• Любая последовательность ${\displaystyle \{\gamma _{n}\}}$ элементов ${\displaystyle \Gamma }$ , сходящаяся к тождественному элементу в обычной топологии поточечной сходимости, в конечном счёте константна, то есть существует целое число N , такое что для любого n > N ${\displaystyle \gamma _{n}=E}$ , где E является единичной матрицей.

Хотя разрывность и дискретность эквивалентны в данном случае, это неверно для случая произвольных групп конформных гомеоморфизмов, действующих на полной сфере Римана (в противоположность ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ). Более того, фуксова группа ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ дискретна, но имеет предельные точки на вещественной прямой Im z = 0 — элементы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ будут иметь z = 0 для любого рационального числа, а рациональные числа ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ плотны в ${\displaystyle \mathbb {R} }$ .

Основное определение

Дробно-линейное преобразование, определённое матрицей из ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )}$ , сохраняет сферу Римана ${\displaystyle \mathbf {P} ^{1}(\mathbb {C} )=\mathbb {C} \cup \infty }$ , но посылает верхнюю полуплоскость ${\displaystyle \mathbb {H} }$ в некоторый открытый диск ${\displaystyle \Delta }$ . Преобразование, сопряжённое такому преобразованию, посылает дискретную подгруппу ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ в дискретную подгруппу группы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )}$ , сохраняя ${\displaystyle \Delta }$ .

Это обуславливает следующее определение фуксовой группы . Пусть ${\displaystyle \Gamma \subset \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )}$ действует инвариантно на собственный открытый диск ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {C} \cup \infty }$ , то есть, ${\displaystyle \Gamma (\Delta )=\Delta }$ . Тогда ${\displaystyle \Gamma }$ является фуксовым тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих эквивалентных свойств:

1. ${\displaystyle \Gamma }$ является дискретной группой (с учётом стандартной топологии на ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {C} )}$ ).
2. ${\displaystyle \Gamma }$ действует в каждой точке ${\displaystyle z\in \Delta }$ .
3. множество ${\displaystyle \Delta }$ является подмножеством области разрывности ${\displaystyle \Omega (\Gamma )}$ of ${\displaystyle \Gamma }$ .

То есть любое из этих трёх свойств может быть использовано как определение фуксовой группы, другие следуют из выбранного определения как теоремы. Понятие собственного инвариантного разрывного подмножества ${\displaystyle \Delta }$ важно. Так называемая ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} [i])}$ дискретна, но не сохраняет какой-либо диск в сфере Римана. Более того, даже модулярная группа ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ , которая является фуксовой группой, не действует разрывно на вещественной прямой. Она имеет предельные точки в рациональных числах . Аналогично, идея, что ${\displaystyle \Delta }$ является собственным подмножеством области разрывности важна. Если этого нет, подгруппа называется клейновой группой .

Обычно в качестве инвариантной области ${\displaystyle \Delta }$ берётся либо открытый единичный диск , либо верхняя полуплоскость .

Предельные множества

Ввиду дискретности действия орбита ${\displaystyle {\Gamma }z}$ точки z в верхней полуплоскости под действием ${\displaystyle \Gamma }$ не имеет точек сгущения в верхней полуплоскости. Могут существовать, однако, предельные точки на вещественной оси. Пусть ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )}$ будет предельным множеством группы ${\displaystyle \Gamma }$ , то есть множество предельных точек ${\displaystyle {\Gamma }z}$ для ${\displaystyle z\in \mathbb {H} }$ . Тогда ${\displaystyle \Lambda (\Gamma )\subseteq \mathbb {R} \cup \infty }$ . Предельное множество может быть пустым или состоять из одной или двух точек, а может состоять и из бесконечного числа. В последнем случае есть два варианта:

Фуксова группа первого типа — это группа, для которой предельное множество является замкнутой вещественной прямой ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \infty }$ . Это случается, когда факторпространство ${\displaystyle \mathbb {H} /\Gamma }$ имеет конечный объём, но имеются фуксовы группы первого рода с бесконечным кообъёмом.

В противном случае говорят, что фуксова группа имеет второй тип . Эквивалентно, это группа, для которой предельное множество является совершенным множеством , то есть нигде не плотным множеством на ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \infty }$ . Поскольку это нигде не плотное множество, из этого следует, что любая предельная точка произвольно близка к некоторому открытому множеству, не принадлежащему предельному множеству. Другими словами, предельное множество является множеством Кантора .

Тип фуксовой группы не обязательно должен быть тем же самым, если рассматривать её как клейнову группу — фактически, все фуксовы группы являются клейновыми группами второго типа, так как их предельные множества (как клейновые группы) являются собственными подмножествами сферы Римана, содержащихся в некотором круге.

Примеры

Пример фуксовой группы — это модулярная группа ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ . Она является подгруппой группы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,R)}$ , состоящей из дробно-линейных преобразований

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\cdot z={\frac {az+b}{cz+d}}}$

где a , b , c , d — целые числа. Факторпространство ${\displaystyle \mathbb {H} /\mathrm {PSL} (2,\mathbb {Z} )}$ является пространством модулей эллиптических кривых .

Фуксовы группы включают также группы ${\displaystyle \Gamma (n)}$ для каждого n > 0. Здесь ${\displaystyle \Gamma (n)}$ состоит из дробно-линейных преобразований вышеприведённого вида, где элементы матрицы

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$

сравнимы с элементами единичной матрицы по модулю n .

Кокомпактным примером служит Группа треугольника (2,3,7) (по вращениям), содержащая все фуксовые группы и поверхности Макбита , как и другие группы Гурвица . В общем, любая гиперболическая группа фон Дика (подгруппа группы треугольника с индексом 2, соответствующая сохраняющим ориентацию движениям) является фуксовой группой.

Все они являются фуксовыми группами первого рода .

• Все гиперболические и параболические циклические подгруппы группы ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ фуксовы.
• Любая эллиптческая циклическая подгруппа фуксова тогда и только тогда, когда она конечна.
• Любая абелева фуксова группа циклична.
• Никакая фуксова группа не изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$ .
• Пусть ${\displaystyle \Gamma }$ будет неабелевой фуксовой группой. Тогда нормализатор группы ${\displaystyle \Gamma }$ в ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {R} )}$ фуксовы.

Метрические свойства

Если h является гиперболическим элементом, длина переноса L действия группы в верхней полуплоскости связана со следом h как ${\displaystyle 2\times 2}$ матрицы отношением

${\displaystyle |\mathrm {tr} \;h|=2\cosh {\frac {L}{2}}.}$

Аналогичное свойство имеет место для соответствующей римановой поверхности, если фуксова группа не имеет кручения и кокомпактна.

См. также

Примечания

Литература