Доля единицы (аликвотная дробь) — это рациональное число в виде дроби , числитель которой равен единице, а знаменатель — положительное целое число . Доля единицы, таким образом, является обратным числом положительного целого числа, 1/ n . Примеры — 1/1, 1/2, 1/3, 1/4 и т. д.

Элементарная арифметика

Умножение любых двух долей единицы даёт долю единицы:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.}$

Однако сложение , вычитание или деление двух долей единицы дают в общем случае отличный от долей единицы результат:

${\displaystyle {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}},}$

${\displaystyle {\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.}$

Модульная арифметика

Доли единицы играют важную роль в сравнении по модулю , поскольку их можно использовать для сведения модульного деления к вычислению наибольшего общего делителя. В частности, предположим, что мы желаем вычислить результат деления на x по модулю y . Чтобы деление на x было определено по модулю y , x и y должны быть взаимно простыми . Тогда, с помощью расширенного алгоритм Евклида для поиска наибольшего общего делителя мы можем найти такие a и b , что

${\displaystyle \displaystyle ax+by=1,}$

откуда следует

${\displaystyle \displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}},}$

что эквивалентно

${\displaystyle a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.}$

Таким образом, для деления на x (по модулю y ) нужно просто умножить на a .

Конечная сумма долей единицы

Любое положительное рациональное число можно представить в виде суммы долей единицы несколькими путями. Например,

${\displaystyle {\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.}$

Древние египтяне использовали суммы различных долей единицы в записи рациональных чисел и такие суммы часто называют египетскими дробями . До сих пор существует интерес к анализу методов, использовавшися древними для выбора возможных представлений и вычисления таких представлений . Тема египетских дробей представляет интерес и для современной теории чисел . Например, гипотеза Эрдёша — Грэма и гипотеза Эрдёша — Штрауса касаются сумм долей единиц, как и определение .

В геометрической теории групп группы треугольников классифицируются как евклидовы, сферические и гиперболические в зависимости от того, связанная с ними сумма долей единицы равна единице, меньше единицы или больше единицы.

Последовательности долей единицы

Много хорошо известных бесконечных рядов имеют члены в виде дробей единицы. Среди них:

• Гармонический ряд — сумма всех положительных долей единицы. Эта сумма расходится, а её частичные суммы

${\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

близко аппроксимируются ln n + γ при увеличении n .

• Базельская задача рассматривает сумму квадратов долей единицы, которая сходится к π ² /6.
• Постоянная Апери — сумма кубов долей единицы.
• Геометрические прогрессии и являются дополнительными примерами рядов долей единицы.

Матрицы из долей единицы

Матрица Гильберта имеет в качестве элементов числа

${\displaystyle B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.}$

Она имеет необычное свойство — все элементы обратной ей матрицы являются целыми числами . Подобным образом Ричардсон определил матрицу с элементами

${\displaystyle C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},}$

где F _i обозначает i -е число Фибоначчи . Он назвал эту матрицу «матрицей Филберта» и она имеет то же самое свойство .

Смежные дроби

Две дроби называются смежными , если их разность является долей единицы .

Доли единицы в теории вероятности и статистике

В дискретном равномерном распределении все вероятности равны доле единицы. Согласно вероятности такого типа часто возникают в статистических вычислениях . Кроме того, закон Ципфа утверждает, что для многих наблюдаемых событий, включая выбор объектов из упорядоченной последовательности, вероятность того, что n -й объект будет выбран, пропорциональна доли единицы 1/ n .

Доли единицы в физике

Уровни энергии фотонов , которые могут быть поглощены или испущены атомом водорода, согласно формуле Ридберга , пропорциональны разности двух долей единицы. Объяснение такому явлению даёт боровская модель , согласно которой уровни энергии электронных орбиталей в атоме водорода обратно пропорциональны квадрату долей единицы, а энергия фотона квантуется разностью уровней .

Артур Эддингтон утверждал, что постоянная тонкой структуры равна доле единицы, сначала 1/136, а затем 1/137. Это утверждение оказалось неверным, и современная оценка значения постоянной тонкой структуры равна (с точностью до 6 знаков) 1/137,036 .

См. также

• Египетские дроби

Примечания

Литература

• Richard K. Guy. Unsolved problems in number theory. — 3rd. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 978-0-387-20860-2 .
• Man Duen Choi. Tricks or treats with the Hilbert matrix // The American Mathematical Monthly. — 1983. — Т. 90 , вып. 5 . — doi : .
• Thomas M. Richardson. The Filbert matrix // . — 2001. — Т. 39 , вып. 3 . — Bibcode : . — arXiv : .
• Fujia Yang, Joseph H. Hamilton. Modern Atomic and Nuclear Physics. — World Scientific, 2009. — ISBN 978-981-283-678-6 .
• Clive William Kilmister. Eddington's search for a fundamental theory: a key to the universe. — Cambridge University Press, 1994. — ISBN 978-0-521-37165-0 .
• Alan H. Welsh. Aspects of statistical inference. — John Wiley and Sons, 1996. — Т. 246. — (Wiley Series in Probability and Statistics). — ISBN 978-0-471-11591-5 .
• Alexander Saichev, Yannick Malevergne, Didier Sornette. Theory of Zipf's Law and Beyond. — Springer-Verlag, 2009. — Т. 632. — (Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems). — ISBN 978-3-642-02945-5 .

Ссылки

• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .