Иррациона́льное число́ — это вещественное число , которое не является рациональным , то есть не может быть представлено в виде обыкновенной дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ , где ${\displaystyle m,n}$ — целые числа , ${\displaystyle n\neq 0}$ . Иррациональное число может быть представлено в виде бесконечной непериодической десятичной дроби .

Другими словами, множество иррациональных чисел есть разность ${\displaystyle \mathbb {I} =\mathbb {R} \backslash \mathbb {Q} }$ множеств вещественных и рациональных чисел.

О существовании иррациональных чисел (точнее отрезков , несоизмеримых с отрезком единичной длины), знали уже древние математики: им была известна, например, несоизмеримость диагонали и стороны квадрата, что равносильно иррациональности числа ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ .

Иррациональными являются, среди прочих, отношение длины окружности к диаметру круга (число π ), основание натурального логарифма e , золотое сечение φ , квадратный корень из двух . Все квадратные корни натуральных чисел, кроме полных квадратов , иррациональны.

Иррациональные числа также могут рассматриваться через бесконечные непрерывные дроби . Следствием доказательства Кантора является то, что действительные числа не счётны , а рациональные — счётны, отсюда следует, что почти все действительные числа иррациональны .

Свойства

• Сумма двух положительных иррациональных чисел может быть рациональным числом.
• Иррациональные числа определяют дедекиндовы сечения во множестве рациональных чисел, у которых в нижнем классе нет наибольшего, а в верхнем нет наименьшего числа.
• Множество иррациональных чисел всюду плотно на числовой прямой: между любыми двумя различными числами имеется иррациональное число.

Алгебраические и трансцендентные числа

Каждое иррациональное число является либо алгебраическим , либо трансцендентным . Множество алгебраических чисел является счётным множеством . Так как множество вещественных чисел несчётно, то множество иррациональных чисел также несчётно.

Каждое вещественное трансцендентное число является иррациональным; алгебраическое число может быть как рациональным, так и иррациональным..

Множество иррациональных чисел является множеством второй категории .

Иррациональные числа и непрерывные дроби

Иррациональное число представляются бесконечной непрерывной дробью . Пример, число e:

${\displaystyle e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,\ldots ,1,2n,1,\ldots ].}$

Квадратичным иррациональностям соответствуют периодические непрерывные дроби.

${\displaystyle \phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=[1;1,1,1,1,\dots ].}$

Примеры

Иррациональными являются:

• ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ для любого натурального ${\displaystyle n}$ , не являющегося точным квадратом
• Число ${\displaystyle e}$ , а также ${\displaystyle e^{x}}$ для любого рационального ${\displaystyle x\neq 0}$
• ${\displaystyle \ln x}$ для любого положительного рационального ${\displaystyle x\neq 1}$
• Число ${\displaystyle \pi }$ , а также ${\displaystyle \pi ^{x}}$ для любого рационального ${\displaystyle x\neq 0}$

Примеры доказательства иррациональности

Корень из 2

Допустим противное: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ рационален , то есть представляется в виде дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ , где ${\displaystyle m}$ — целое число , а ${\displaystyle n}$ — натуральное число .

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}\Rightarrow 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\Rightarrow m^{2}=2n^{2}}$ .

В каноническое разложение левой части равенства число ${\displaystyle 2}$ входит в чётной степени, а в разложение ${\displaystyle 2n^{2}}$ — в нечётной. Поэтому равенство ${\displaystyle m^{2}=2n^{2}}$ невозможно. Значит, исходное предположение было неверным, и ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ — иррациональное число.

Двоичный логарифм числа 3

Допустим противное: ${\displaystyle \log _{2}3}$ рационален , то есть представляется в виде дроби ${\displaystyle {\frac {m}{n}}}$ , где ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ — целые числа . Поскольку ${\displaystyle \log _{2}3>0}$ , ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ могут быть выбраны положительными. Тогда

${\displaystyle \log _{2}3={\frac {m}{n}}\Rightarrow m=n\log _{2}3\Rightarrow 2^{m}=2^{n\log _{2}3}\Rightarrow 2^{m}=3^{n}}$

Но ${\displaystyle 2^{m}}$ чётно, а правая часть получившегося равенства нечётна. Получаем противоречие.

e

См. раздел «Доказательство иррациональности» в статье «e» .

История

Античность

Концепция иррациональных чисел была неявным образом воспринята индийскими математиками в VII веке до нашей эры, когда Манава (приблизительно 750—690 года до нашей эры) выяснил, что квадратные корни некоторых натуральных чисел, таких как 2 и 61, не могут быть явно выражены ^{[ источник не указан 3009 дней ]} .

Первое доказательство существования иррациональных чисел, а точнее существование несоизмеримых отрезков, обычно приписывается пифагорейцу Гиппасу из Метапонта (приблизительно 470 год до нашей эры) . Нет точных данных о том, иррациональность какого числа была доказана Гиппасом. Согласно легенде он нашёл его, изучая длины сторон пентаграммы . Поэтому разумно предположить, что это было золотое сечение , так как это и есть отношение диагонали к стороне в правильном пятиугольнике.

Греческие математики назвали это отношение несоизмеримых величин алогос (невыразимым), однако согласно легендам не воздали Гиппасу должного уважения. Существует легенда, что Гиппас совершил открытие, находясь в морском походе, и был выброшен за борт другими пифагорейцами «за создание элемента вселенной, который отрицает доктрину, что все сущности во вселенной могут быть сведены к целым числам и их отношениям». Открытие Гиппаса поставило перед пифагорейской математикой серьёзную проблему, разрушив лежавшее в основе всей теории предположение, что числа и геометрические объекты едины и неразделимы.

Феодор Киренский доказал иррациональность корней натуральных чисел до 17 (исключая, естественно, точные квадраты — 1, 4, 9 и 16), но остановился на этом, так как имевшаяся в его инструментарии алгебра не позволяла доказать иррациональность квадратного корня из 17. По поводу того, каким могло быть это доказательство, историками математики было высказано несколько различных предположений. Согласно наиболее правдоподобному предположению , оно было основано на теореме о том, что нечётное квадратное число делится на восемь с остатком один .

Позже Евдокс Книдский (410 или 408 г. до н. э. — 355 или 347 г. до н. э.) развил теорию пропорций, которая принимала во внимание как рациональные, так и иррациональные отношения. Это послужило основанием для понимания фундаментальной сути иррациональных чисел. Величина стала считаться не числом, но обозначением сущностей, таких как отрезки прямых, углы, площади, объёмы, промежутки времени — сущностей, которые могут меняться непрерывно (в современном понимании этого слова). Величины были противопоставлены числам, которые могут меняться лишь «прыжками» от одного числа к соседнему, например, с 4 на 5 . Числа составляются из наименьшей неделимой величины, в то время как величины можно уменьшать бесконечно.

Поскольку никакое количественное значение не сопоставлялось величине, Евдокс смог охватить и соизмеримые, и несоизмеримые величины при определении дроби как отношения двух величин, и пропорции как равенства двух дробей. Убрав из уравнений количественные значения (числа), он избежал ловушки, состоящей в необходимости назвать иррациональную величину числом. Теория Евдокса позволила греческим математикам совершить невероятный прогресс в геометрии, предоставив им необходимое логическое обоснование для работы с несоизмеримыми величинами . Десятая книга « Начал » Евклида посвящена классификации иррациональных величин.

Средние века

Средние века ознаменовались принятием таких понятий как ноль, отрицательные числа, целые и дробные числа, сначала индийскими, затем китайскими математиками. Позже присоединились арабские математики, которые первыми стали считать отрицательные числа алгебраическими объектами (наряду и на равных правах с положительными числами), что позволило развить дисциплину, ныне называемую алгеброй.

Арабские математики соединили древнегреческие понятия «числа» и «величины» в единую, более общую идею вещественных чисел. Они критически относились к представлениям Евклида об отношениях, в противовес ей они развили теорию отношений произвольных величин и расширили понятие числа до отношений непрерывных величин. В своих комментариях на Книгу 10 «Начал» Евклида, персидский математик аль-Махани (ок. 800 года н. э.) исследовал и классифицировал квадратичные иррациональные числа и более общие кубические иррациональные числа. Он дал определение рациональным и иррациональным величинам, которые он и называл иррациональными числами. Он легко оперировал этими объектами, но рассуждал как об обособленных объектах, например :

В противовес концепции Евклида, что величины суть в первую очередь отрезки прямых, Аль Махани считал целые числа и дроби рациональными величинами, а квадратные и кубические корни — иррациональными. Он также ввёл арифметический подход к множеству иррациональных чисел, поскольку именно он показал иррациональность следующих величин :

Египетский математик Абу Камил (ок. 850 г. н. э. — ок. 930 г. н. э.) был первым, кто счёл приемлемым признать иррациональные числа решением квадратных уравнений или коэффициентами в уравнениях — в основном, в виде квадратных или кубических корней, а также корней четвёртой степени . В X веке иракский математик Аль-Хашими вывел общие доказательства (а не наглядные геометрические демонстрации) иррациональности произведения, частного и результатов иных математических преобразований над иррациональными и рациональными числами . Аль-Хазин (900 г. н. э. — 971 г. н. э.) приводит следующее определение рациональной и иррациональной величины :

Многие из этих идей были позже переняты европейскими математиками после перевода на латынь арабских текстов в XII веке. Аль Хассар, арабский математик из Магриба, специализировавшийся на исламских законах о наследстве, в XII веке ввёл современную символьную математическую нотацию для дробей, разделив числитель и знаменатель горизонтальной чертой . Та же нотация появилась затем в работах Фибоначчи в XIII веке . В течение XIV—XVI вв. Мадхава из Сангамаграмы и представители Керальской школы астрономии и математики исследовали бесконечные ряды, сходящиеся к некоторым иррациональным числам, например, к ${\displaystyle \pi }$ , а также показали иррациональность некоторых значений тригонометрических функций. Джестадева привёл эти результаты в книге «Йуктибхаза».

Новое время

В XVII—XVIII веке в математике прочно укрепились комплексные числа , вклад в изучение которых внесли Абрахам де Муавр (1667—1754) и Леонард Эйлер (1707—1783). Когда теория комплексных чисел в XIX веке стала замкнутой и чёткой, стало возможным классифицировать иррациональные числа на алгебраические нерациональные и трансцендентные (доказав при этом существование трансцендентных чисел), тем самым переосмыслив работы Евклида по классификации иррациональных чисел. По этой теме в 1872 году были опубликованы работы Вейерштрасса , Гейне , Кантора и Дедекинда . Хотя ещё в 1869 году Мерэ начал рассмотрения, схожие с работами Гейне, именно 1872 год принято считать годом рождения теории. Метод Вейерштрасса был полностью изложен Сальваторе Пинкерле в 1880 году , а Дедекинд получил дополнительную известность благодаря более поздней работе автора (1888) и одобрению Поля Таннери (1894). Вейерштрасс, Кантор и Гейне обосновывали свои теории при помощи бесконечных рядов, в то время как Дедекинд работал с (ныне так называемыми) дедекиндовыми сечениями множества вещественных чисел, разделяя все рациональные числа на два множества с определёнными характеристическими свойствами.

Цепные дроби , тесно связанные с иррациональными числами (цепная дробь, представляющая данное число, бесконечна тогда и только тогда, когда число является иррациональным), были впервые исследованы Катальди в 1613 году, затем снова привлекли к себе внимание в работах Эйлера, а в начале XIX века — в работах Лагранжа . Дирихле также внёс значительный вклад в развитие теории цепных дробей. В 1761 году Ламберт с помощью цепных дробей показал, что ${\displaystyle \pi }$ не является рациональным числом, а также что ${\displaystyle e^{x}}$ и ${\displaystyle \operatorname {tg} x}$ иррациональны при любом ненулевом рациональном ${\displaystyle x}$ . Хотя доказательство Ламберта можно назвать незавершённым, принято считать его достаточно строгим, особенно учитывая время его написания. Лежандр в 1794 году, после введения , показал, что ${\displaystyle \pi ^{2}}$ иррационально, откуда иррациональность ${\displaystyle \pi }$ следует тривиально (рациональное число в квадрате дало бы рациональное).

Существование трансцендентных чисел было доказано Лиувиллем в 1844—1851 годах. Позже Георг Кантор (1873) показал их существование, используя другой метод, и обосновал, что любой интервал вещественного ряда содержит бесконечно много трансцендентных чисел. Шарль Эрмит доказал в 1873 году, что e трансцендентно, а Фердинанд Линдеман в 1882 году, основываясь на этом результате, показал трансцендентность ${\displaystyle \pi }$ . Доказательство Линдеманна было затем упрощено Вейерштрассом в 1885 году, ещё более упрощено Давидом Гильбертом в 1893 году и, наконец, доведено до почти элементарного Адольфом Гурвицем и Паулем Горданом .

См. также

• Дедекиндово сечение
• Диофантовы и лиувиллевы числа
• Конструктивные способы определения вещественного числа
• Мера иррациональности

Примечания

Литература

• В. А. Ильин , В. А. Садовничий , Бл. Х. Сендов . Глава 2. Вещественные числа // / Под ред. А. Н. Тихонова . — 3-е изд. , перераб. и доп. — М. : Проспект, 2006. — Т. 1. — 672 с. — ISBN 5-482-00445-7 .
• История математики с древнейших времён до начала XIX столетия. В трёх томах / под ред. Юшкевича. — М. : Наука, 1970.
• Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times , Vol. 1. New York: Oxford University Press. (Original work published 1972).
• Matvievskaya, Galina. The Theory of Quadratic Irrationals in Medieval Oriental Mathematics (англ.) // (англ.) ( : journal. — 1987. — Vol. 500 . — doi : .
• Kurt Von Fritz. The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum (англ.) // The Annals of Mathematics : journal. — 1945.