Числовая последовательность (ранее в русскоязычной математической литературе встречался термин вариа́нта , принадлежащий Ш. Мерэ ) — это последовательность чисел .

Числовые последовательности являются одним из основных объектов рассмотрения в математическом анализе .

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ — это либо множество вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ , либо множество комплексных чисел ${\displaystyle \mathbb {C} }$ . Тогда последовательность ${\displaystyle (x_{n})_{n=1}^{\infty }}$ элементов множества ${\displaystyle X}$ называется числовой последовательностью .

Примеры

• Функция ${\displaystyle \left((-1)^{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ является бесконечной последовательностью целых чисел . Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ${\displaystyle \langle -1,1,-1,1,-1,\ldots \rangle }$ .
• Функция ${\displaystyle (1/n)_{n=1}^{\infty }}$ является бесконечной последовательностью рациональных чисел . Элементы этой последовательности начиная с первого имеют вид ${\displaystyle \langle 1,1/2,1/3,1/4,1/5,\ldots \rangle }$ .

Операции над последовательностями

На множестве всех последовательностей элементов множества ${\displaystyle X}$ можно определить арифметические и другие операции , если таковые определены на множестве ${\displaystyle X}$ . Такие операции обычно определяют естественным образом, то есть поэлементно.

Пусть на множестве ${\displaystyle X}$ определена ${\displaystyle N}$ -арная операция ${\displaystyle f}$ : ${\displaystyle f\colon X^{N}\rightarrow X}$ Тогда для элементов ${\displaystyle x_{1}=(x_{1n})_{n=1}^{\infty }}$ , ${\displaystyle x_{2}=(x_{2n})_{n=1}^{\infty }}$ , …, ${\displaystyle x_{N}=(x_{Nn})_{n=1}^{\infty }}$ множества всех последовательностей элементов множества ${\displaystyle X}$ операция ${\displaystyle f}$ будет определяться следующим образом: ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N}\right)=(f\left(x_{1n},x_{2n},\cdots ,x_{Nn}\right))_{n=1}^{\infty }}$

Например, так определяются арифметические операции для числовых последовательностей.

Суммой числовых последовательностей ${\displaystyle (x_{n})}$ и ${\displaystyle (y_{n})}$ называется числовая последовательность ${\displaystyle (z_{n})}$ такая, что ${\displaystyle z_{n}=x_{n}+y_{n}}$

Разностью числовых последовательностей ${\displaystyle (x_{n})}$ и ${\displaystyle (y_{n})}$ называется числовая последовательность ${\displaystyle (z_{n})}$ такая, что ${\displaystyle z_{n}=x_{n}-y_{n}}$ .

Произведением числовых последовательностей ${\displaystyle x_{n}}$ и ${\displaystyle y_{n}}$ называется числовая последовательность ${\displaystyle (z_{n})}$ такая, что ${\displaystyle z_{n}=x_{n}\cdot y_{n}}$ .

Частным числовой последовательности ${\displaystyle x_{n}}$ и числовой последовательности ${\displaystyle y_{n}}$ , все элементы которой отличны от нуля , называется числовая последовательность ${\displaystyle z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{n=1}^{\infty }}$ . Если в последовательности ${\displaystyle y_{n}}$ на позиции ${\displaystyle k\neq 1}$ всё же имеется нулевой элемент, то результат деления на такую последовательность всё равно может быть определён, как последовательность ${\displaystyle z_{n}=\left({\frac {x_{n}}{y_{n}}}\right)_{n=1}^{k-1}}$ .

Конечно, арифметические операции могут быть определены не только на множестве числовых последовательностей, но и на любых множествах последовательностей элементов множеств, на которых определены арифметические операции, будь то поля или даже кольца .

Подпоследовательности

Подпоследовательность последовательности ${\displaystyle (x_{n})}$ — это последовательность ${\displaystyle (x_{n_{k}})}$ , где ${\displaystyle (n_{k})}$ — возрастающая последовательность элементов множества натуральных чисел.

Иными словами, подпоследовательность получается из последовательности удалением конечного или счётного числа элементов.

Примеры

• Последовательность простых чисел является подпоследовательностью последовательности натуральных чисел.
• Последовательность натуральных чисел, кратных 12 , является подпоследовательностью последовательности чётных натуральных чисел.

Свойства

• Всякая последовательность является своей подпоследовательностью.
• Для всякой подпоследовательности ${\displaystyle (x_{k_{n}})}$ верно, что ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \colon k_{n}\geqslant n}$ .
• Подпоследовательность сходящейся последовательности сходится к тому же пределу, что и исходная последовательность.
• Если все подпоследовательности некоторой исходной последовательности сходятся, то их пределы равны.
• Любая подпоследовательность бесконечно большой последовательности также является бесконечно большой.
• Из любой неограниченной числовой последовательности можно выделить бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.
• Из любой числовой последовательности можно выделить либо сходящуюся подпоследовательность, либо бесконечно большую подпоследовательность, все элементы которой имеют определённый знак.

Предельная точка последовательности

Предельная точка последовательности — это точка, в любой окрестности которой содержится бесконечно много элементов этой последовательности. Для сходящихся числовых последовательностей предельная точка совпадает с пределом .

Предел последовательности

Предел последовательности — это объект, к которому члены последовательности приближаются с ростом номера. Так в произвольном топологическом пространстве пределом последовательности называется элемент, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого. В частности, для числовых последовательностей предел — это число, в любой окрестности которого лежат все члены последовательности начиная с некоторого.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей. У сходящихся числовых последовательностей он всегда совпадает с обычным пределом.

Верхний предел последовательности — это наибольшая предельная точка этой последовательности.

Нижний предел последовательности — это наименьшая предельная точка этой последовательности.

Некоторые виды последовательностей

• Стационарная последовательность — это последовательность, все члены которой, начиная с некоторого, равны.

  ${\displaystyle (x_{n})}$ стационарная ${\displaystyle \Leftrightarrow \left(\exists N\in \mathbb {N} ~\forall i,j\in \mathbb {N} \colon \left(i\geqslant N\right)\land \left(j\geqslant N\right)\Rightarrow \left(x_{i}=x_{j}\right)\right)}$ .

Ограниченные и неограниченные последовательности

В предположении о линейной упорядоченности множества ${\displaystyle X}$ элементов последовательности можно ввести понятия ограниченных и неограниченных последовательностей.

• Ограниченная сверху последовательность — это последовательность элементов множества ${\displaystyle X}$ , все члены которой не превышают некоторого элемента из этого множества. Этот элемент называется верхней гранью данной последовательности.

  ${\displaystyle (x_{n})}$ ограниченная сверху ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists M\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\leqslant M}$ .

• Ограниченная снизу последовательность — это последовательность элементов множества ${\displaystyle X}$ , для которой в этом множестве найдётся элемент, не превышающий всех её членов. Этот элемент называется нижней гранью данной последовательности.

  ${\displaystyle (x_{n})}$ ограниченная снизу ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists m\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon x_{n}\geqslant m}$ .

• Ограниченная последовательность ( ограниченная с обеих сторон последовательность ) — это последовательность, ограниченная и сверху, и снизу.

  ${\displaystyle (x_{n})}$ ограниченная ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists m,M\in X~\forall n\in \mathbb {N} \colon m\leqslant x_{n}\leqslant M}$ .

• Неограниченная последовательность — это последовательность, которая не является ограниченной.

  ${\displaystyle (x_{n})}$ неограниченная ${\displaystyle \Leftrightarrow \forall m,M\in X~\exists n\in \mathbb {N} \colon \left(x_{n}<m\right)\lor \left(x_{n}>M\right)}$ .

Критерий ограниченности числовой последовательности

Числовая последовательность является ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число, что модули всех членов последовательности не превышают его.

${\displaystyle (x_{n})}$ ограниченная ${\displaystyle \Leftrightarrow \exists A\in \mathbb {R} ~\forall n\in \mathbb {N} \colon |x_{n}|\leqslant A}$ .

Свойства ограниченных последовательностей

• Ограниченная сверху числовая последовательность имеет бесконечно много верхних граней.
• Ограниченная снизу числовая последовательность имеет бесконечно много нижних граней.
• Ограниченная последовательность имеет по крайней мере одну предельную точку .
• У ограниченной последовательности существуют верхний и нижний пределы .
• Для любого наперёд взятого положительного числа ${\displaystyle \varepsilon }$ все элементы ограниченной числовой последовательности ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ , начиная с некоторого номера, зависящего от ${\displaystyle \varepsilon }$ , лежат внутри интервала ${\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n}-\varepsilon ,\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}+\varepsilon \right)}$ .
• Если за пределами интервала ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ лежит лишь конечное число элементов ограниченной числовой последовательности ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$ , то интервал ${\displaystyle \left(\varliminf _{n\to \infty }x_{n},\varlimsup _{n\to \infty }x_{n}\right)}$ содержится в интервале ${\displaystyle \left(a,b\right)}$ .
• Справедлива теорема Больцано — Вейерштрасса . Из любой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

• Бесконечно малая последовательность — это последовательность, предел которой равен нулю .
• Бесконечно большая последовательность — это последовательность, предел которой равен бесконечности .

Свойства бесконечно малых последовательностей

Бесконечно малые последовательности отличаются целым рядом замечательных свойств, которые активно используются в математическом анализе , а также в смежных с ним и более общих дисциплинах.

• Сумма двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Разность двух бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей сама также является бесконечно малой последовательностью.
• Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую последовательность есть бесконечно малая последовательность.
• Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
• Любая бесконечно малая последовательность ограничена.
• Если стационарная последовательность является бесконечно малой, то все её элементы, начиная с некоторого, равны нулю.
• Если вся бесконечно малая последовательность состоит из одинаковых элементов, то эти элементы — нули.
• Если ${\displaystyle (x_{n})}$ — бесконечно большая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность ${\displaystyle (1/x_{n})}$ , которая является бесконечно малой. Если же ${\displaystyle (x_{n})}$ всё же содержит нулевые элементы, то последовательность ${\displaystyle (1/x_{n})}$ всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера ${\displaystyle n}$ , и всё равно будет бесконечно малой.
• Если ${\displaystyle (\alpha _{n})}$ — бесконечно малая последовательность, не содержащая нулевых членов, то существует последовательность ${\displaystyle (1/\alpha _{n})}$ , которая является бесконечно большой. Если же ${\displaystyle (\alpha _{n})}$ всё же содержит нулевые элементы, то последовательность ${\displaystyle (1/\alpha _{n})}$ всё равно может быть определена, начиная с некоторого номера ${\displaystyle n}$ , и всё равно будет бесконечно большой.

Сходящиеся и расходящиеся последовательности

• Сходящаяся последовательность — это последовательность элементов множества ${\displaystyle X}$ , имеющая предел в этом множестве.
• Расходящаяся последовательность — это последовательность, не являющаяся сходящейся.

Свойства сходящихся последовательностей

• Всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся. Её предел равен нулю .
• Удаление любого конечного числа элементов из бесконечной последовательности не влияет ни на сходимость, ни на предел этой последовательности.
• Любая сходящаяся последовательность элементов хаусдорфова пространства имеет только один предел.
• Любая сходящаяся последовательность ограничена. Однако не любая ограниченная последовательность сходится.
• Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она является ограниченной и при этом её верхний и нижний пределы совпадают.
• Если последовательность ${\displaystyle (x_{n})}$ сходится, но не является бесконечно малой, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность ${\displaystyle (1/x_{n})}$ , которая является ограниченной.
• Сумма сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Разность сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Произведение сходящихся последовательностей также является сходящейся последовательностью.
• Частное двух сходящихся последовательностей определено, начиная с некоторого элемента, если только вторая последовательность не является бесконечно малой. Если частное двух сходящихся последовательностей определено, то оно представляет собой сходящуюся последовательность.
• Если сходящаяся последовательность ограничена снизу, то никакая из её нижних граней не превышает её предела.
• Если сходящаяся последовательность ограничена сверху, то её предел не превышает ни одной из её верхних граней.
• Если для любого номера члены одной сходящейся последовательности не превышают члены другой сходящейся последовательности, то и предел первой последовательности также не превышает предела второй.
• Если все элементы некоторой последовательности, начиная с некоторого номера, лежат на отрезке между соответствующими элементами двух других сходящихся к одному и тому же пределу последовательностей, то и эта последовательность также сходится к такому же пределу.
• Любую сходящуюся последовательность ${\displaystyle (x_{n})}$ можно представить в виде ${\displaystyle (x_{n})=(a+\alpha _{n})}$ , где ${\displaystyle a}$ — предел последовательности ${\displaystyle (x_{n})}$ , а ${\displaystyle \alpha _{n}}$ — некоторая бесконечно малая последовательность.
• Всякая сходящаяся последовательность является фундаментальной . При этом фундаментальная числовая последовательность всегда сходится (как и любая фундаментальная последовательность элементов полного пространства).

Монотонные последовательности

Монотонная последовательность — это невозрастающая, либо неубывающая последовательность. При этом предполагается, что на множестве, из которого берутся элементы последовательности, введено отношение порядка .

Фундаментальные последовательности

Фундаментальная последовательность ( сходящаяся в себе последовательность , последовательность Коши ) — это последовательность элементов метрического пространства , в которой для любого наперёд заданного расстояния найдётся такой элемент, расстояние от которого до любого из следующих за ним элементов не превышает заданного. Для числовых последовательностей понятия фундаментальной и сходящейся последовательностей эквивалентны, однако в общем случае это не так.

Примечания

См. также

• Энциклопедия целочисленных последовательностей