Interested Article - Раскрытие неопределённостей
- 2021-11-10
- 1
Раскрытие неопределённостей — методы вычисления пределов функций , заданных формулами, которые в результате формальной подстановки в них предельных значений аргумента теряют смысл, то есть переходят в выражения типа:
(Здесь — бесконечно малая величина , — бесконечно большая величина , 1 — бесконечно близкое к числу 1 выражение)
по которым невозможно судить о том, существуют или нет искомые пределы, не говоря уже о нахождении их значений, если они существуют.
Самым мощным методом является правило Лопиталя , однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел . К тому же напрямую оно применимо только ко второму и третьему из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.
Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки . Для раскрытия неопределённостей видов , , пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту .
Для раскрытия неопределённостей типа используется следующий алгоритм:
- Выявление старшей степени переменной;
- Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.
Для раскрытия неопределённостей типа существует следующий алгоритм:
- Разложение на множители числителя и знаменателя;
- Сокращение дроби.
Для раскрытия неопределённостей типа иногда удобно применить следующее преобразование:
- Пусть и ;
- .
Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.
При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.
Пример
— пример неопределённости вида . По правилу Лопиталя . Второй способ — прибавить и отнять в числителе и дважды применить теорему Лагранжа , к функциям и соответственно:
здесь c, d лежат между a и x, поэтому они стремятся к a при x стремящемся к a, отсюда получаем тот же предел, что и в первом способе.
Примечания
- Демидович Б.П. Задача №1358 // Сборник задач и упражнений по математическому анализу. — 7-е изд. — М. : Наука , 1969. — С. 136.
- 2021-11-10
- 1