В
математике
,
последовательностями Люка
называют семейство пар
линейных рекуррентных последовательностей
второго порядка, впервые рассмотренных
Эдуардом Люка
.
Последовательности Люка представляют собой пары последовательностей
{
U
n
(
P
,
Q
)
}
{\displaystyle \{U_{n}(P,Q)\}}
и
{
V
n
(
P
,
Q
)
}
{\displaystyle \{V_{n}(P,Q)\}}
, удовлетворяющих одному и тому же рекуррентному соотношению с коэффициентами
P
и
Q
:
U
0
(
P
,
Q
)
=
0
,
U
1
(
P
,
Q
)
=
1
,
U
n
+
2
(
P
,
Q
)
=
P
⋅
U
n
+
1
(
P
,
Q
)
−
Q
⋅
U
n
(
P
,
Q
)
,
n
≥
0
{\displaystyle U_{0}(P,Q)=0,\quad U_{1}(P,Q)=1,\quad U_{n+2}(P,Q)=P\cdot U_{n+1}(P,Q)-Q\cdot U_{n}(P,Q),\,n\geq 0}
V
0
(
P
,
Q
)
=
2
,
V
1
(
P
,
Q
)
=
P
,
V
n
+
2
(
P
,
Q
)
=
P
⋅
V
n
+
1
(
P
,
Q
)
−
Q
⋅
V
n
(
P
,
Q
)
,
n
≥
0
{\displaystyle V_{0}(P,Q)=2,\quad V_{1}(P,Q)=P,\quad V_{n+2}(P,Q)=P\cdot V_{n+1}(P,Q)-Q\cdot V_{n}(P,Q),\,n\geq 0}
Примеры
Некоторые последовательности Люка носят собственные имена:
{
U
n
(
1
,
−
1
)
}
{\displaystyle \{U_{n}(1,-1)\}}
—
числа Фибоначчи
{
V
n
(
1
,
−
1
)
}
{\displaystyle \{V_{n}(1,-1)\}}
—
числа Люка
{
U
n
(
2
,
−
1
)
}
{\displaystyle \{U_{n}(2,-1)\}}
—
числа Пелля
{
V
n
(
2
,
−
1
)
}
{\displaystyle \{V_{n}(2,-1)\}}
—
числа Пелля — Люка
{
U
n
(
3
,
2
)
}
{\displaystyle \{U_{n}(3,2)\}}
—
числа Мерсенна
{
V
2
n
(
3
,
2
)
}
{\displaystyle \{V_{2^{n}}(3,2)\}}
—
числа Ферма
{
U
n
(
1
,
−
2
)
}
{\displaystyle \{U_{n}(1,-2)\}}
—
числа Якобшталя
{
U
n
(
2
x
,
1
)
}
{\displaystyle \{U_{n}(2x,1)\}}
—
многочлены Чебышёва второго рода
{
V
n
(
2
x
,
1
)
}
{\displaystyle \{V_{n}(2x,1)\}}
—
многочлены Чебышёва первого рода
умноженные на 2
Явные формулы
Характеристическим многочленом
последовательностей Люка
{
U
n
(
P
,
Q
)
}
{\displaystyle \{U_{n}(P,Q)\}}
и
{
V
n
(
P
,
Q
)
}
{\displaystyle \{V_{n}(P,Q)\}}
является:
x
2
−
P
⋅
x
+
Q
.
{\displaystyle x^{2}-P\cdot x+Q.}
Его дискриминант
D
=
P
2
−
4
Q
{\displaystyle D=P^{2}-4Q}
предполагается не равным нулю. Корни характеристического многочлена
α
=
P
+
D
2
{\displaystyle \alpha ={\frac {P+{\sqrt {D}}}{2}}}
и
β
=
P
−
D
2
{\displaystyle \beta ={\frac {P-{\sqrt {D}}}{2}}}
можно использовать для получения явных формул:
U
n
(
P
,
Q
)
=
α
n
−
β
n
α
−
β
=
α
n
−
β
n
D
{\displaystyle U_{n}(P,Q)={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\alpha -\beta }}={\frac {\alpha ^{n}-\beta ^{n}}{\sqrt {D}}}}
и
V
n
(
P
,
Q
)
=
α
n
+
β
n
.
{\displaystyle V_{n}(P,Q)=\alpha ^{n}+\beta ^{n}.}
Формулы Виета
позволяют также выразить
P
{\displaystyle P}
и
Q
{\displaystyle Q}
в виде:
P
=
α
+
β
,
{\displaystyle P=\alpha +\beta ,}
Q
=
α
⋅
β
.
{\displaystyle Q=\alpha \cdot \beta .}
Вырожденный случай
Дискриминант
D
{\displaystyle D}
обращается в ноль при
P
=
2
S
,
Q
=
S
2
{\displaystyle P=2S,Q=S^{2}}
для некоторого числа
S
{\displaystyle S}
. При этом выполняется
α
=
β
=
S
{\displaystyle \alpha =\beta =S}
и соответственно:
U
n
(
2
S
,
S
2
)
=
n
S
n
−
1
,
{\displaystyle U_{n}(2S,S^{2})=nS^{n-1},}
V
n
(
2
S
,
S
2
)
=
2
S
n
.
{\displaystyle V_{n}(2S,S^{2})=2S^{n}.}
Свойства
D
U
n
=
V
n
+
1
−
Q
V
n
−
1
=
2
V
n
+
1
−
P
V
n
{\displaystyle DU_{n}=V_{n+1}-QV_{n-1}=2V_{n+1}-PV_{n}}
V
n
=
U
n
+
1
−
Q
U
n
−
1
=
2
U
n
+
1
−
P
U
n
{\displaystyle V_{n}=U_{n+1}-QU_{n-1}=2U_{n+1}-PU_{n}}
U
n
+
m
=
U
n
U
m
+
1
−
Q
U
m
U
n
−
1
=
U
n
V
m
+
U
m
V
n
2
{\displaystyle U_{n+m}=U_{n}U_{m+1}-QU_{m}U_{n-1}={\frac {U_{n}V_{m}+U_{m}V_{n}}{2}}}
V
n
+
m
=
V
n
V
m
−
Q
m
V
n
−
m
{\displaystyle V_{n+m}=V_{n}V_{m}-Q^{m}V_{n-m}}
U
2
n
=
U
n
V
n
=
U
n
+
1
2
−
Q
2
U
n
−
1
2
P
{\displaystyle U_{2n}=U_{n}V_{n}={\frac {U_{n+1}^{2}-Q^{2}U_{n-1}^{2}}{P}}}
V
2
n
=
V
n
2
−
2
Q
n
{\displaystyle V_{2n}=V_{n}^{2}-2Q^{n}}
U
2
n
+
1
=
U
n
+
1
2
−
Q
U
n
2
{\displaystyle U_{2n+1}=U_{n+1}^{2}-QU_{n}^{2}}
Ссылки
В. П. Паламодов.
//
Математическое просвещение
. Вторая серия. — 1957. —
Вып. 1
. —
С. 139-147
.
Грант Аракелян
.
Математика и история золотого сечения
. — М.: Логос, 2014, 404 с. — ISBN 978-5-98704-663-0.