Гипотеза Бёрча — Свиннертон-Дайера — математическая гипотеза относительно свойств эллиптических кривых , одна из задач тысячелетия , за решение которой институтом Клэя предложен приз в $ 1 млн.

В поисках ответа на вопрос, при каких условиях диофантовы уравнения в виде алгебраических уравнений имеют решения в целых и рациональных числах , Брайан Бёрч и Питер Свиннертон-Дайер в начале 1960-х годов предположили, что ранг ${\displaystyle r}$ эллиптической кривой ${\displaystyle E}$ над полем ${\displaystyle K}$ равен порядку нуля дзета-функции Хассе — Вейля ${\displaystyle L(E,s)}$ в точке ${\displaystyle s=1}$ . Точнее, гипотеза утверждает, что существует ненулевой предел ${\displaystyle B_{E}=\lim \limits _{s\to 1}{\frac {L(E,s)}{(s-1)^{r}}}}$ , где значение ${\displaystyle B_{E}}$ зависит от тонких арифметических инвариантов кривых. Исходя из данных численных экспериментов предположено , что верна асимптотика

${\displaystyle \prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ при }}x\rightarrow \infty }$

где ${\displaystyle N_{p}}$ — число целых точек на кривой ${\displaystyle E}$ с рангом ${\displaystyle r}$ по модулю ${\displaystyle p}$ , ${\displaystyle C}$ — константа.

При условии, если один из рядов имеет решение.

Гипотеза является единственным относительно простым общим способом вычисления .

Наиболее важные результаты

В 1977 году Джон Коутс и Эндрю Уайлс доказали утверждение, справедливое для большого класса эллиптических кривых о том, что если кривая ${\displaystyle E}$ содержит бесконечно много рациональных точек, то ${\displaystyle L(E,1)=0}$ .

В 1986 году Бенедикт Гросс и Дон Цагир показали, что если модулярная эллиптическая кривая имеет нуль первого порядка при ${\displaystyle s=1}$ , то она имеет рациональную точку бесконечного порядка ( );

В 1989 году Виктор Колывагин показал, что модулярная эллиптическая кривая ${\displaystyle E}$ , для которой ${\displaystyle L(E,1)}$ не равно нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая ${\displaystyle E}$ , для которой ${\displaystyle L(E,1)}$ имеет нуль первого порядка при s = 1 имеет ранг 1.

В 1991 году показал, что для эллиптических кривых, определённых над мнимым квадратичным полем ${\displaystyle K}$ с комплексным умножением на ${\displaystyle K}$ , если ${\displaystyle L}$ -ряд эллиптической кривой отличен от нуля при s = 1, то p-часть группы Тейта — Шафаревича имела предсказанный порядок по гипотезе Бёрча и Суиннертона-Дайера для всех простых чисел ${\displaystyle p>7}$ .

В 1999 году , , и Ричард Тейлор доказали теорему о модулярности (что все эллиптические кривые, определённые над рациональными числами, являются модульными), это распространяет результаты #2 и #3 на все эллиптические кривые над рациональными числами и показывает, что ${\displaystyle L}$ -функции всех эллиптических кривых над ${\displaystyle Q}$ определены при s = 1.

В 2015 году и Манджул Бхаргава доказали, что средний ранг для эллиптической кривой над ${\displaystyle Q}$ ограничен сверху величиной 7/6.

Примечания

Литература

• Коблиц Н. Введение в эллиптические кривые и модулярные формы / под редакцией Ю. И. Манина . — М. : Мир , 1988.
• Айерлэнд К., Роузен М. Классическое введение в современную теорию чисел. — М. : Мир , 1987.
• Иэн Стюарт . Величайшие математические задачи. — М. : Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3 .
• Бёрч, Брайан ; Свиннертон-Дайер, Питер (1965). "Notes on Elliptic Curves (II)". J. Reine Angew. Math. 165 (218): 79—108. doi : .