Interested Article - Итальянская школа алгебраической геометрии

В истории математики словосочетание итальянская школа алгебраической геометрии относится к работам на протяжении более чем полувекового периода (расцвет пришёлся примерно на 1885—1935) учёных разных стран в области бирациональной геометрии , в частности, теории алгебраических поверхностей . Было примерно 30 — 40 ведущих математиков, которые внесли наибольший вклад в эти труды, из которых примерно половина действительно была итальянцами. Лидерами в этой школе считались римские математики Гвидо Кастельнуово , Федериго Энрикес и Франческо Севери , работы которых содержали глубокие открытия и определили стиль научной школы.

Алгебраические поверхности

Особое внимание к алгебраическим поверхностям — алгебраическим многообразиям размерности 2 — было вызвано построением полной геометрической теории алгебраических кривых (размерности 1): около 1870 было выяснено, что теория кривых вместе с влечёт теорему Римана — Роха и все её уточнения (через геометрию ).

Классификация алгебраических поверхностей была храброй и успешной попыткой повторить классификацию кривых по их роду g . Она соответствует грубой классификации: g = 0 (проективная прямая); g = 1 ( эллиптическая кривая ); и g > 1 (« кренделя » с независимыми голоморфными 1-формами ). В случае поверхностей классификация Энрикеса была делением на пять подобных больших классов, три из которых были аналогами классов кривых, а ещё два — эллиптические расслоения и K3-поверхности , как их называют теперь — являются вместе с двумерными абелевыми многообразиями «промежуточной территорией». Эта классификация привела к жизни некоторое количество знаковых идей, сформулированных на современном языке комплексных многообразий Кунихико Кодаирой в 1950-х, и улучшена, чтобы включить явления, возникающие в простой характеристике Оскаром Зарисским , школой Шафаревича и другими около 1960. Версия теоремы Римана — Роха для поверхностей также была получена.

Проблемы в основаниях

Некоторые доказательства, полученные в рамках итальянской школы, ныне не считаются удовлетворительными по причинам трудностей в основаниях этой науки. Таковым является, например, частое использование итальянскими математиками бирациональных реализаций в размерности три поверхностей, которые имеют неособые реализации только в проективных пространствах большей размерности . Чтобы обойти эти вопросы, были разработаны изощрённые методы работы с (фактически, теория для гиперплоских сечений предполагаемых вложений в проективные пространства). Много современных техник было обнаружено в зачаточном виде, и во многих случаях внятное проговаривание этих идей превысило технические возможности языка.

Геометры

Согласно Гверраджио и Настаси (стр. 9, 2005) Луиджи Кремона «считается основателем итальянской школы алгебраической геометрии». Позже они объясняют, что в Турине сотрудничество Д’Овидио и Коррадо Сегре «привело усилиями их или их учеников, итальянскую алгебраическую геометрию к полной зрелости». Ученик Сегре, писал (1926, стр. 269), что [Коррадо Сегре] «может быть назван отцом этой замечательной итальянской школы, которая достигла столь многого в бирациональной теории алгебраических множеств». Об этом Бригалья и Чилиберто (2004) говорят: «Сегре возглавлял и продвигал вперёд школу геометрии, которую Луиджи Кремона основал в 1860». По данным проекта « Математическая генеалогия » подлинная плодовитость школы началась с Гвидо Кастельнуово и Федериго Энрикеса . В США многих учеников воспитал Оскар Зариски .

Список математиков итальянской школы включает в себя также следующих итальянцев: Джакомо Альбанезе , , Кампеделли, , , , Бениамино Сегре , Франческо Севери , (с другим значимым вкладом Джино Фано , Розати, Торелли, Джузеппе Веронезе ).

В других странах в сходных областях работали и Патрик Дю Валь (Великобритания), (США), и Шарль Эмиль Пикар (Франция), (Бельгия), Герман Шуберт и Макс Нётер , а позже Эрих Келер (Германия), Иероним Георг Цейтен (Дания), Болеслав Корнелиевич Млодзиевский ( Россия ).

Эти люди работали скорее в алгебраической геометрии, нежели в погоне за проективной геометрией как синтетической геометрией , которая в тот период была громадным по масштабам, но с исторической точки зрения бесперспективным направлением исследования.

Пришествие топологии

Новая алгебраическая геометрия, наследовавшая итальянской школе, отличалась также интенсивным использованием алгебраической топологии . Основоположником этой тенденции был Анри Пуанкаре ; в 1930-е она была развита Лефшецем , Ходжем и . Современный синтез сблизил их работы, а также школы Анри Картана , и Кунихико Кодаиры , с традиционным материалом.

Упадок школы

В ранние годы итальянской школы, при Кастельнуово, стандарты строгости были в ней так же высоки, как во всей остальной математике. При Энрикесе стало считаться допустимым использовать более неформальные аргументы, например, «принцип непрерывности», утверждающий, что то, что справедливо вплоть до какого-то предела, справедливо и при этом пределе — принцип, не имевший не то что строгого доказательства, но даже удовлетворительной формулировки. Поначалу это не сказывалось негативно, поскольку интуиция Энрикеса была достаточно тонкой, чтобы его утверждения оказались на самом деле верными, и использование таких соображений позволило ему выдвигать несколько спекулятивные результаты об алгебраических поверхностях. К сожалению, примерно с 1930 и далее под руководством Севери стандарты строгости размылись ещё сильнее, вплоть до той степени, что результаты оказывались не просто недостаточно обоснованными, но даже безнадёжно неверными. Например, в 1934 Севери заявил, что пространство классов рациональной эквивалентности циклов на алгебраической поверхности конечномерно, но в 1968 году Мамфорд показал, что это неверно для поверхностей положительного геометрического рода; или, например, в 1946 Севери опубликовал статью, в которой провозглашалось доказательство того, что поверхность степени 6 в трёхмерном пространстве имеет не более 52 особенностей, но имеет 65 особенностей. Севери не считал свои аргументы неадекватными, что вело к язвительным диспутам о статусе некоторых его результатов.

К 1950 стало слишком сложно говорить, какие из заявленных результатов были корректными, и неформальная интуитивная школа алгебраической геометрии окончательно пришла в упадок из-за своих слабых оснований. Примерно с 1950 по 1980 прилагались значимые усилия к тому, чтобы спасти от окончательного краха как можно больше утверждений, придав им строгий алгебраический стиль алгебраической геометрии, основанной Вейлем и Зарисским. В частности, в 1960-х Кодаира и Шафаревич с его учениками переписали классификацию Энрикеса алгебраических поверхностей более строго, а также распространили её на все компактные комплексные поверхности; в 1970-х Фултон и Макферсон поставили классические вычисления теории пересечений на строгую почву.

Литература

Babbit, Donald; Goodstein, Judith (August 2009), (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 56 (7): 800—808, MR , Zbl {{ citation }} : Википедия:Обслуживание CS1 (Zbl) ( ссылка ) .
Baker, H. F. (1926), , Journal of the London Mathematical Society , 1 (4): 263—271, doi : , JFM .
Aldo Brigaglia (2001) «The creation and the persistence of national schools: The case of Italian algebraic geometry», Chapter 9 (pages 187—206) of Changing Images in Mathematics , Umberto Bottazzini and Amy Delmedico editors, Routledge .
Aldo Brigaglia & Ciro Ciliberto (2004) «Remarks on the relations between the Italian and American schools of algebraic geometry in the first decades of the 20th century», 31:310-19.
Coolidge, J. L. (May–June 1927), , Bulletin of the American Mathematical Society , 33 (3): 352—357, doi : , JFM , MR .
Guerraggio, Angelo; Nastasi, Pietro (2005), , Science Networks. Historical Studies, vol. 29, Birkhäuser Verlag, ISBN 978-3-7643-6555-4 , MR
Mumford, David (1968), , Journal of Mathematics of Kyoto University , 9 : 195—204, ISSN , MR
Vesentini, Edoardo (2005), (PDF) , , 25 (2): 185—193, MR , Zbl {{ citation }} : Внешняя ссылка в |journal= ( справка ) .