Абсолютный ретракт — метризуемое пространство ${\displaystyle X}$ которое является ретрактом всякого метризуемого пространства, содержащего ${\displaystyle X}$ в качестве замкнутого подпространства.

Связанные определения

• Метризуемое пространство ${\displaystyle X}$ называется абсолютным окрестностным ретрактом , если оно является окрестностным ретрактом всякого метризуемого пространства, содержащего ${\displaystyle X}$ в качестве замкнутого подпространства.

Свойства

• Метризуемое пространство ${\displaystyle Y}$ является абсолютным ретрактом в том и только в том случае, если, каковы бы ни были метризуемое пространство ${\displaystyle X}$ , его замкнутое подпространство ${\displaystyle A}$ и непрерывное отображение пространства ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle Y}$ , его можно продолжить до непрерывного отображения всего пространства ${\displaystyle X}$ в ${\displaystyle Y}$ .
• Для того чтобы метризуемое пространство ${\displaystyle X}$ было абсолютным ретрактом, необходимо, чтобы оно было ретрактом некоторого выпуклого подпространства линейного нормированного пространства , и достаточно, чтобы ${\displaystyle X}$ было ретрактом выпуклого подпространства локально выпуклого линейного пространства.
  • Таким образом, все выпуклые подпространства локально выпуклых линейных пространств являются абсолютными ретрактами; в частности, таковы точка, отрезок, шар, прямая и т. д. Из приведенной характеристики вытекают следующие свойства абсолютных ретрактов:
    • Всякий ретракт абсолютного ретракта снова есть абсолютный ретракт
    • Каждый абсолютный ретракт стягиваем по себе и локально стягиваем .
    • Все гомологические, когомологические, гомотопические и когомотопические группы абсолютного ретракта тривиальны.