Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Формулировка

Пусть ${\displaystyle K_{0}}$ и ${\displaystyle K_{1}}$ — компактные выпуклые тела в n -мерном евклидовом пространстве . Рассмотрим сумму Минковского ${\displaystyle K_{\lambda }=(1-\lambda )K_{0}+\lambda K_{1}}$ , ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ , то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств ${\displaystyle K_{0}}$ и ${\displaystyle K_{1}}$ в отношении ${\displaystyle \lambda }$ к ${\displaystyle (1-\lambda )}$ . Тогда функция

${\displaystyle f(\lambda )={\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} K_{\lambda }}}}$

есть вогнутая функция от ${\displaystyle \lambda }$ .

Более того, функция ${\displaystyle f(\lambda )}$ линейна в том и только в том случае, когда ${\displaystyle K_{0}}$ и ${\displaystyle K_{1}}$ гомотетичны.

Замечания

• Неравенство легко выводится из своего частного случая

  ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} (A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} A}}+{\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} B}}}$

для любых компактных выпуклых тел ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — в n -мерном пространстве.

Следствия

• Изодиаметрическое неравенство : В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра , шар имеет наибольший объём . Для доказательства теоремы достаточно применить к данному телу ${\displaystyle W}$ и к его центральносимметричной копии ${\displaystyle W'}$ .
• Теорема Линделёфа о многограннике : Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара.

История

Теорема установлена Брунном в 1887, уточнена и дополнена Минковским , обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником .

Довольно простое доказательство приведённое Бляшке использует симметризацию Штайнера . Другое, короткое и простое доказательство нашли Г. Хадвигер и Д. Оман. В нём неравенство доказывается сначала для пар параллелепипедов с параллельными гранями — эта часть эквивалентна неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим . Далее по индукции доказывается для конечных объединений таких параллелепипедов. Неравенство следует поскольку любое тело можно приблизить таким объединиением.

Вариации и обобщения

• Неравенство Александрова — Фенхеля — неравенство на смешанный объём , которое влечёт неравенство Брунна — Минковского.

Литература

• В. Бляшке , Круг и шар. М. : Наука, 1967.
• Бураго Ю.Д. , Залгаллер В.А. Геометрические неравенства. — Наука, 1980.
• Федерер Г. Геометрическая теория меры. — 1987. — 760 с.