Interested Article - Неравенство Брунна — Минковского

Теорема Брунна — Минковского — классическая теорема выпуклой геометрии:

Формулировка

Пусть $K_{0}$ и $K_{1}$ — компактные выпуклые тела в n -мерном евклидовом пространстве . Рассмотрим сумму Минковского $K_{\lambda }=(1-\lambda )K_{0}+\lambda K_{1}$ , $\lambda \in [0,1]$ , то есть множество точек, делящих отрезки с концами в любых точках множеств $K_{0}$ и $K_{1}$ в отношении $\lambda$ к $(1-\lambda )$ . Тогда функция

f(\lambda )={\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} K_{\lambda }}}

есть вогнутая функция от $\lambda$ .

Более того, функция $f(\lambda )$ линейна в том и только в том случае, когда $K_{0}$ и $K_{1}$ гомотетичны.

Замечания

Неравенство легко выводится из своего частного случая

${\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} (A+B)}}\geq {\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} A}}+{\sqrt[{n}]{\mathop {\rm {vol}} B}}$

для любых компактных выпуклых тел

A

и

B

— в n -мерном пространстве.

Следствия

Изодиаметрическое неравенство : В евклидовом пространстве среди всех тел данного диаметра , шар имеет наибольший объём . Для доказательства теоремы достаточно применить к данному телу $W$ и к его центральносимметричной копии $W'$ .
Теорема Линделёфа о многограннике : Среди всех выпуклых многогранников трёхмерного евклидова пространства с данными направлениями граней и с данным объёмом наименьшую площадь поверхности имеет многогранник, описанный вокруг шара.

История

Теорема установлена Брунном в 1887, уточнена и дополнена Минковским , обобщена на случай произвольных компактных тел Люстерником .

Довольно простое доказательство приведённое Бляшке использует симметризацию Штайнера . Другое, короткое и простое доказательство нашли Г. Хадвигер и Д. Оман. В нём неравенство доказывается сначала для пар параллелепипедов с параллельными гранями — эта часть эквивалентна неравенству между средним геометрическим и средним арифметическим . Далее по индукции доказывается для конечных объединений таких параллелепипедов. Неравенство следует поскольку любое тело можно приблизить таким объединиением.

Вариации и обобщения

Неравенство Александрова — Фенхеля — неравенство на смешанный объём , которое влечёт неравенство Брунна — Минковского.

Литература

Minkowski, Hermann . Geometrie der Zahlen (неопр.) . — Leipzig: Teubner, 1896.
Lyusternik, Lazar A. Die Brunn-Minkowskische Ungleichnung für beliebige messbare Mengen (нем.) // Comptes Rendus (Doklady) de l'académie des Sciences de l'uRSS (Nouvelle Série) : magazin. — 1935. — Bd. III . — S. 55—58 .
H. Hadwiger and D. Ohmann, Brunn-Minkowskischer Satz und Isoperimetrie, Math. Zeit. 66 (1956), 1–8