Interested Article - Можно ли услышать форму барабана?

Первый пример двух неконгруэнтных барабанов, звучащих одинаково. Обратите внимание, что фигуры имеют равные площади и периметры

«Можно ли услышать форму барабана?» — вопрос Липмана Берса , восходящий к Герману Вейлю .

Частоты, на которых барабанная мембрана может вибрировать, однозначно зависят от его формы. Спрашивается: однозначно ли можно восстановить форму барабана, если все его частоты известны?

Формулировка «Можно ли услышать форму барабана?» появляется в статье Марка Каца , опубликованной в 1966 году . Эта статья популяризовала вопрос и таким образом сыграла заметную роль в развитии математики на несколько десятилетий. За неё Кац был удостоен в 1967 году и в 1968 году .

Формулировка

Барабан мыслится как плоская область , граница которой фиксирована. Обозначим через её n -ое собственное значение для лапласиана с условием Дирихле на границе. То есть нас интересуют значения , для которых существует функция такая, что

Две области называются изоспектральными, если они имеют одинаковые собственные значения, учитывая кратность.

Поэтому вопрос можно переформулировать так:

  • Существуют ли две изоспектральные и неконгруэнтные области?

Вариации

Аналогичные вопросы можно задать про уравнения Лапласа на областях в старших размерностях, также на римановых многообразиях и для других эллиптических дифференциальных операторов , таких как оператор Коши — Римана или оператор Дирака . Можно накладывать другие граничные условия, в частности условие Неймана .

Ответы

Плоские торы

Почти сразу Джон Милнор построил пару изоспектральных неизометричных 16-мерных торов. Позже подобные примеры были построены во всех размерностях начиная с четырёх. При этом в размерностях 2 и 3 таких примеров не существует. Трёхмерный случай потребовал серьёзных компьютерных вычислений.

Таким образом, «форму плоского тора нельзя услышать полностью в размерностях 4 и выше».

Области на плоскости

Однопараметрическое семейство пар изоспектральных барабанов. Каждый из двух барабанов составлен из 7 равных треугольников

В 1992 году Гордон, Уэбб и Уолперт построили пару неконгруэнтных изоспектральных невыпуклых многоугольников (см. рисунок).

Доказательство того, что оба многоугольника имеют одинаковые собственные значения, использует симметрии и вполне элементарно. Короткое доказательство более общего утверждения приведено в книге Конвея.

Таким образом, «форму барабана нельзя услышать полностью».

Частные случаи

Вместе с тем, многие характеристики этой формы восстановимы.

  • Согласно формуле Вейля , площадь может быть однозначно восстановлена по спектру.
    • По теореме Иврия тоже верно и для периметров областей с гладкой границей.
  • Если область выпукла , а её граница аналитическая , то спектр позволяет однозначно установить её форму. [ источник не указан 508 дней ]
    • Вопрос остаётся открытым для невыпуклых областей с аналитической границей.
  • Известно, что множество изоспектральных областей компактно в -топологии.
  • По сфера является спектрально-жёсткой; то есть, многообразие с тем же спектром, что и у сферы, должно быть ей изометрично.

Примечания

  1. Kac, Mark. (англ.) // American Mathematical Monthly : journal. — 1966. — April ( vol. 73 , no. 4, part 2 ). — P. 1—23 . — doi : . — JSTOR . 2 марта 2021 года.
  2. . Дата обращения: 15 мая 2016. 6 мая 2021 года.
  3. Buser, Peter; Conway, John ; Doyle, Peter; Semmler, Klaus-Dieter (1994), "Some planar isospectral domains", International Mathematics Research Notices , 9 : 391ff
  4. В. Я. Иврий. // Функц. анализ и его прил. — 1980. — Т. 14 , № 2 . — С. 25—34 .

Литература

Ссылки

  • Титаренко С. А. . — Дифференциальные уравнения и математическое моделирование, 2022. — 103-107 с.
  • Титаренко С. А. — Preprints of the St. Petersburg Mathematical Society, 2020. — 11 с.
  • by Peter Buser, John Horton Conway , Peter Doyle, and Klaus-Dieter Semmler
  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
  • Benguria, Rafael D. (2001), , in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Источник —

Same as Можно ли услышать форму барабана?