«Можно ли услышать форму барабана?» — вопрос Липмана Берса , восходящий к Герману Вейлю .

Частоты, на которых барабанная мембрана может вибрировать, однозначно зависят от его формы. Спрашивается: однозначно ли можно восстановить форму барабана, если все его частоты известны?

Формулировка «Можно ли услышать форму барабана?» появляется в статье Марка Каца , опубликованной в 1966 году . Эта статья популяризовала вопрос и таким образом сыграла заметную роль в развитии математики на несколько десятилетий. За неё Кац был удостоен в 1967 году и в 1968 году .

Формулировка

Барабан мыслится как плоская область ${\displaystyle D}$ , граница которой фиксирована. Обозначим через ${\displaystyle \lambda _{n}}$ её n -ое собственное значение для лапласиана с условием Дирихле на границе. То есть нас интересуют значения ${\displaystyle \lambda }$ , для которых существует функция ${\displaystyle u\colon D\to \mathbb {R} }$ такая, что

${\displaystyle {\begin{cases}\Delta u+\lambda u=0,\\u|_{\partial D}=0.\end{cases}}}$

Две области называются изоспектральными, если они имеют одинаковые собственные значения, учитывая кратность.

Поэтому вопрос можно переформулировать так:

• Существуют ли две изоспектральные и неконгруэнтные области?

Вариации

Аналогичные вопросы можно задать про уравнения Лапласа на областях в старших размерностях, также на римановых многообразиях и для других эллиптических дифференциальных операторов , таких как оператор Коши — Римана или оператор Дирака . Можно накладывать другие граничные условия, в частности условие Неймана .

Ответы

Плоские торы

Почти сразу Джон Милнор построил пару изоспектральных неизометричных 16-мерных торов. Позже подобные примеры были построены во всех размерностях начиная с четырёх. При этом в размерностях 2 и 3 таких примеров не существует. Трёхмерный случай потребовал серьёзных компьютерных вычислений.

Таким образом, «форму плоского тора нельзя услышать полностью в размерностях 4 и выше».

Области на плоскости

В 1992 году Гордон, Уэбб и Уолперт построили пару неконгруэнтных изоспектральных невыпуклых многоугольников (см. рисунок).

Доказательство того, что оба многоугольника имеют одинаковые собственные значения, использует симметрии и вполне элементарно. Короткое доказательство более общего утверждения приведено в книге Конвея.

Таким образом, «форму барабана нельзя услышать полностью».

Частные случаи

Вместе с тем, многие характеристики этой формы восстановимы.

• Согласно формуле Вейля , площадь может быть однозначно восстановлена по спектру.
  • По теореме Иврия тоже верно и для периметров областей с гладкой границей.
• Если область выпукла , а её граница аналитическая , то спектр позволяет однозначно установить её форму. ^{[ источник не указан 508 дней ]}
  • Вопрос остаётся открытым для невыпуклых областей с аналитической границей.
• Известно, что множество изоспектральных областей компактно в ${\displaystyle C^{\infty }}$ -топологии.
• По сфера является спектрально-жёсткой; то есть, многообразие с тем же спектром, что и у сферы, должно быть ей изометрично.

Примечания

Литература

• Конвей Дж. . — М. : МЦНМО, 2008. — 144 с. — 1000 экз. — ISBN 978-5-94057-268-8 .

Ссылки

• Титаренко С. А. . — Дифференциальные уравнения и математическое моделирование, 2022. — 103-107 с.
• Титаренко С. А. — Preprints of the St. Petersburg Mathematical Society, 2020. — 11 с.
• by Peter Buser, John Horton Conway , Peter Doyle, and Klaus-Dieter Semmler
• Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .
• Benguria, Rafael D. (2001), , in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4