Interested Article - Сферическая система координат

tammi
  • 2020-03-24
  • 1

Сферическая система координат — трёхмерная система координат , в которой каждая точка пространства определяется тремя числами ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi)} , где r {\displaystyle r} — расстояние до начала координат (радиальное расстояние), а θ {\displaystyle \theta } и φ {\displaystyle \varphi } — зенитный и азимутальный углы соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии . Зенит — направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей фундаментальной плоскости . В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Рис. 1.Точка имеет три декартовых и три сферических координаты

Если рассматривать сферическую систему координат относительно декартовой системы O x y z {\displaystyle Oxyz} , фундаментальной плоскостью будет плоскость x y {\displaystyle xy} , зенитным углом точки, заданной радиус-вектором P {\displaystyle P} , будет угол между P {\displaystyle P} и осью z {\displaystyle z} , а азимутом — угол между проекцией P {\displaystyle P} на плоскость x y {\displaystyle xy} и осью x {\displaystyle x} . Это объясняет названия углов и то, что сферическая система координат может служить обобщением множества видов систем небесных координат .

Определения

Положение точки P {\displaystyle P} в сферической системе координат определяется тройкой ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi)} , где

  • r ⩾ 0 {\displaystyle r\geqslant 0} — расстояние от начала координат до заданной точки P {\displaystyle P} .
  • 0 ∘ ⩽ θ ⩽ 180 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 180^{\circ }} — угол между осью z {\displaystyle z} и отрезком, соединяющим начало координат и точку P {\displaystyle P} .
  • 0 ∘ ⩽ φ < 360 ∘ {\displaystyle 0^{\circ }\leqslant \varphi <360^{\circ }} — угол между осью x {\displaystyle x} и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой P {\displaystyle P} , на плоскость x y {\displaystyle xy} (см. рис. 1).

Угол θ {\displaystyle \theta } называется зенитным , или полярным , также он может называться наклонением , или коширотой , а угол φ {\displaystyle \varphi } — азимутальным . Углы θ {\displaystyle \theta } и φ {\displaystyle \varphi } не определены при r = 0 {\displaystyle r=0} , также не определён угол φ {\displaystyle \varphi } при sin ⁡ ( θ ) = 0 {\displaystyle \sin(\theta)=0} (то есть при θ = 0 {\displaystyle \theta =0} или θ = 180 ∘ {\displaystyle \theta =180^{\circ }} ).

Такое соглашение установлено в стандарте ( ISO 31-11 ). Кроме того может использоваться соглашение, когда вместо зенитного угла θ {\displaystyle \theta } , используется угол между радиус-вектором точки P {\displaystyle P} и плоскостью x y {\displaystyle xy} , равный 90 ∘ − θ {\displaystyle 90^{\circ }-\theta } . Он называется широтой и может быть обозначен той же буквой θ {\displaystyle \theta } . Широта может изменяться в пределах − 90 ∘ ⩽ θ ⩽ 90 ∘ {\displaystyle -90^{\circ }\leqslant \theta \leqslant 90^{\circ }} . При этом соглашении углы θ {\displaystyle \theta } и φ {\displaystyle \varphi } не имеют значения при r = 0 {\displaystyle r=0} , так же как и в первом случае, а φ {\displaystyle \varphi } не имеет значения при cos ⁡ ( θ ) = 0 {\displaystyle \cos(\theta)=0} (то есть при θ = − 90 ∘ {\displaystyle \theta =-90^{\circ }} или θ = 90 ∘ {\displaystyle \theta =90^{\circ }} ).

Переход к другим системам координат

Декартова система координат

Если заданы сферические координаты точки ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\;\theta ,\;\varphi)} , то переход к декартовым осуществляется по формулам:

{ x = r sin ⁡ θ cos ⁡ φ , y = r sin ⁡ θ sin ⁡ φ , z = r cos ⁡ θ . {\displaystyle {\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ,\\y=r\sin \theta \sin \varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}

Обратно, от декартовых к сферическим:

{ r = x 2 + y 2 + z 2 , θ = arccos ⁡ z x 2 + y 2 + z 2 = a r c t g x 2 + y 2 z , φ = a r c t g y x . {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}},\\\theta =\arccos {\dfrac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\mathrm {arctg} {\dfrac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}},\\\varphi =\mathrm {arctg} {\dfrac {y}{x}}.\end{cases}}}

Якобиан преобразования к сферическим координатам равен

J = ∂ ( x , y , z ) ∂ ( r , θ , φ ) = | sin ⁡ θ cos ⁡ φ r cos ⁡ θ cos ⁡ φ − r sin ⁡ θ sin ⁡ φ sin ⁡ θ sin ⁡ φ r cos ⁡ θ sin ⁡ φ r sin ⁡ θ cos ⁡ φ cos ⁡ θ − r sin ⁡ θ 0 | = = cos ⁡ θ ( r 2 cos ⁡ φ 2 cos ⁡ θ sin ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ φ cos ⁡ θ sin ⁡ θ ) + r sin ⁡ θ ( r sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ φ + r sin 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ φ ) = = r 2 cos 2 ⁡ θ sin ⁡ θ + r 2 sin 2 ⁡ θ sin ⁡ θ = = r 2 sin ⁡ θ . {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}J&={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi)}}={\begin{vmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{vmatrix}}=\\&=\cos \theta (r^{2}\cos \varphi ^{2}\cos \theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\varphi \cos \theta \sin \theta)+r\sin \theta (r\sin ^{2}\theta \cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\theta \sin ^{2}\varphi)=\\&=r^{2}\cos ^{2}\theta \sin \theta +r^{2}\sin ^{2}\theta \sin \theta =\\&=r^{2}\sin \theta .\end{alignedat}}}

Таким образом, элемент объёма при переходе от декартовых к сферическим координатам будет выглядеть следующим образом:

d V = d x d y d z = J ( r , θ , φ ) d r d θ d φ = r 2 sin ⁡ θ d r d θ d φ {\displaystyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=J(r,\theta ,\varphi)\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }

Цилиндрическая система координат

Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

{ ρ = r sin ⁡ θ , φ = φ , z = r cos ⁡ θ . {\displaystyle {\begin{cases}\rho =r\sin \theta ,\\\varphi =\varphi ,\\z=r\cos \theta .\end{cases}}}

Обратно от цилиндрических к сферическим:

{ r = ρ 2 + z 2 , θ = a r c t g ρ z , φ = φ . {\displaystyle {\begin{cases}r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta =\mathrm {arctg} {\dfrac {\rho }{z}},\\\varphi =\varphi .\end{cases}}}

Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим J = r {\displaystyle J=r} .

Дифференциальные характеристики

Вектор d r {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} } , проведённый из точки ( r , θ , φ ) {\displaystyle (r,\theta ,\varphi)} в точку ( r + d r , θ + d θ , φ + d φ ) {\displaystyle (r+\mathrm {d} r,\,\theta +\mathrm {d} \theta ,\,\varphi +\mathrm {d} \varphi)} , равен

d r = d r r ^ + r d θ θ ^ + r sin ⁡ θ d φ φ ^ , {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\boldsymbol {\hat {r}}}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\boldsymbol {\hat {\varphi }}} ,}

где

r ^ = sin ⁡ θ cos ⁡ φ ı ^ + sin ⁡ θ sin ⁡ φ ȷ ^ + cos ⁡ θ k ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {r}}}=\sin \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\sin \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}+\cos \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}}
θ ^ = cos ⁡ θ cos ⁡ φ ı ^ + cos ⁡ θ sin ⁡ φ ȷ ^ − sin ⁡ θ k ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\theta }}}=\cos \theta \cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \theta \sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}-\sin \theta {\boldsymbol {\hat {k}}}}
φ ^ = − sin ⁡ φ ı ^ + cos ⁡ φ ȷ ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}=-\sin \varphi {\boldsymbol {\hat {\imath }}}+\cos \varphi {\boldsymbol {\hat {\jmath }}}}

ортогональные единичные векторы сферических координат в направлении увеличения r , θ , φ {\displaystyle r,\theta ,\varphi } , соответственно, а ı ^ , ȷ ^ , k ^ {\displaystyle {\boldsymbol {\hat {\imath }}},{\boldsymbol {\hat {\jmath }}},{\boldsymbol {\hat {k}}}} — единичные векторы декартовых координат. Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

g i j = ( 1 0 0 0 r 2 0 0 0 r 2 sin 2 ⁡ θ ) , g i j = ( 1 0 0 0 1 r 2 0 0 0 1 r 2 sin 2 ⁡ θ ) {\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&{\dfrac {1}{r^{2}}}&0\\0&0&{\dfrac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\end{pmatrix}}}
  • det ( g i j ) = r 4 sin 2 ⁡ θ . {\displaystyle \det(g_{ij})=r^{4}\sin ^{2}\theta .\ }
  • Квадрат дифференциала длины дуги:
d s 2 = d r 2 + r 2 d θ 2 + r 2 sin 2 ⁡ θ d φ 2 . {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}.}
H r = 1 , H θ = r , H φ = r sin ⁡ θ . {\displaystyle H_{r}=1,\quad H_{\theta }=r,\quad H_{\varphi }=r\sin \theta .}
Γ 22 1 = − r , Γ 33 1 = − r sin 2 ⁡ θ , {\displaystyle \Gamma _{22}^{1}=-r,\quad \Gamma _{33}^{1}=-r\sin ^{2}\theta ,}
Γ 21 2 = Γ 12 2 = Γ 13 3 = Γ 31 3 = 1 r , {\displaystyle \Gamma _{21}^{2}=\Gamma _{12}^{2}=\Gamma _{13}^{3}=\Gamma _{31}^{3}={\frac {1}{r}},}
Γ 33 2 = − cos ⁡ θ sin ⁡ θ , Γ 23 3 = Γ 32 3 = c t g θ . {\displaystyle \Gamma _{33}^{2}=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{23}^{3}=\Gamma _{32}^{3}=\mathrm {ctg} \,\theta .}

Остальные равны нулю.

Математическое моделирование Земли

Сферическая географическая система координат

Сферическая географическая система координат строится следующим образом :

  • её начало помещено в центр Земли ;
  • полярная ось направлена по оси вращения Земли;
  • координата r {\displaystyle r} отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
  • полярный угол θ {\displaystyle \theta } есть коширота (дополнение географической широты до 90 ∘ {\displaystyle 90^{\circ }} );
  • азимутальный угол φ {\displaystyle \varphi } совпадает с географической долготой (восточной).

Вектор магнитной индукции магнитного поля Земли B {\displaystyle \mathbf {B} } имеет компоненты

B r = − B sin ⁡ I , B θ = − B cos ⁡ I cos ⁡ D , B φ = B cos ⁡ I sin ⁡ D , {\displaystyle B_{r}=-B\sin I,\;B_{\theta }=-B\cos I\cos D,\;B_{\varphi }=B\cos I\sin D,}

где I {\displaystyle I} — магнитное наклонение ; D {\displaystyle D} — магнитное склонение .

Компоненты вектора ускорения свободного падения g {\displaystyle \mathbf {g} } равны

g r = − g , g θ = g φ = 0. {\displaystyle g_{r}=-g,\;g_{\theta }=g_{\varphi }=0.}

Наконец, компоненты вектора угловой скорости вращения Земли Ω {\displaystyle \mathbf {\Omega } } такие:

Ω r = Ω cos ⁡ θ , Ω θ = − Ω sin ⁡ θ , Ω φ = 0. {\displaystyle \Omega _{r}=\Omega \cos \theta ,\;\Omega _{\theta }=-\Omega \sin \theta ,\;\Omega _{\varphi }=0.}

В сферических географических координатах оптимально решать уравнения, описывающие поведение нейтральных частиц околоземного пространства .

Сферическая геомагнитная система координат

Сферическая геомагнитная система координат строится следующим образом :

  • её начало помещено в центр Земли ;
  • полярная ось направлена по оси магнитного диполя Земли (геомагнитной оси), проходящей через магнитные полюса ;
  • координата r {\displaystyle r} отсчитывается вдоль радиус-вектора, проведенного из центра Земли;
  • полярный угол Θ {\displaystyle \Theta } есть геомагнитная коширота (дополнение магнитной широты Φ {\displaystyle \Phi } до 90 ∘ : Θ = π / 2 − Φ {\displaystyle 90^{\circ }\colon \;\Theta =\pi /2-\Phi } );
  • азимутальный угол Λ {\displaystyle \Lambda } совпадает с геомагнитной долготой, отсчитываемой к востоку от плоскости в западном полушарии , содержащей географический и геомагнитный полюсы.

Географические координаты северного магнитного полюса равны

θ 0 = 4 , 6 ∘ , φ 0 = 43 , 0 ∘ ( 2012 ) . {\displaystyle \theta _{0}=4,6^{\circ },\;\varphi _{0}=43,0^{\circ }\;(2012).}

В сферической геомагнитной системе координат склонение D = 0 {\displaystyle D=0} и

B r = − B sin ⁡ I , B Θ = − B cos ⁡ I , B Λ = 0 , {\displaystyle B_{r}=-B\sin I,\;B_{\Theta }=-B\cos I,\;B_{\Lambda }=0,}
g r = − g , g Θ = g Λ = 0. {\displaystyle g_{r}=-g,\;g_{\Theta }=g_{\Lambda }=0.}
Ω r = Ω ( cos ⁡ θ 0 cos ⁡ Θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ Θ cos ⁡ Λ ) , {\displaystyle \Omega _{r}=\Omega (\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda),}
Ω Θ = − Ω ( cos ⁡ θ 0 sin ⁡ Θ + sin ⁡ θ 0 cos ⁡ Θ cos ⁡ Λ ) , {\displaystyle \Omega _{\Theta }=-\Omega (\cos \theta _{0}\sin \Theta +\sin \theta _{0}\cos \Theta \cos \Lambda),}
Ω Λ = Ω sin ⁡ θ 0 sin ⁡ Λ . {\displaystyle \Omega _{\Lambda }=\Omega \sin \theta _{0}\sin \Lambda .}

Формулы, связывающие географические и геомагнитные сферические координаты :

cos ⁡ Θ = cos ⁡ θ 0 cos ⁡ θ + sin ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ ( φ − φ 0 ) , {\displaystyle \cos \Theta =\cos \theta _{0}\cos \theta +\sin \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0}),}
cos ⁡ Λ = − sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ + cos ⁡ θ 0 sin ⁡ θ cos ⁡ ( φ − φ 0 ) sin ⁡ Θ , {\displaystyle \cos \Lambda ={\frac {-\sin \theta _{0}\cos \theta +\cos \theta _{0}\sin \theta \cos(\varphi -\varphi _{0})}{\sin \Theta }},}
cos ⁡ θ = cos ⁡ θ 0 cos ⁡ Θ − sin ⁡ θ 0 sin ⁡ Θ cos ⁡ Λ , {\displaystyle \cos \theta =\cos \theta _{0}\cos \Theta -\sin \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda ,}
cos ⁡ ( φ − φ 0 ) = sin ⁡ θ 0 cos ⁡ Θ + cos ⁡ θ 0 sin ⁡ Θ cos ⁡ Λ sin ⁡ θ . {\displaystyle \cos(\varphi -\varphi _{0})={\frac {\sin \theta _{0}\cos \Theta +\cos \theta _{0}\sin \Theta \cos \Lambda }{\sin \theta }}.}

В сферических геомагнитных координатах проще, чем в сферических географических координатах, описывать влияние геомагнитного поля на заряженные частицы околоземного пространства .

См. также

Примечания

  1. ↑ Брюнелли Б. Е., Намгаладзе А. А. Физика ионосферы. М.: Наука, 1988. § 3.5, С. 172—173. ISBN 5-02-000716-1

Ссылки

  • Weisstein, Eric W. (англ.) на сайте Wolfram MathWorld .

tammi
  • 2020-03-24
  • 1

Same as Сферическая система координат

The title for the last searches