Декомпозиция
- 1 year ago
- 0
- 0
В теории графов ухо неориентированного графа G — это путь P , у которого две конечные точки могут совпадать, но в противном случае не разрешается повторение вершин или рёбер, так что любая внутренняя точка пути P имеет в пути степень два. Ушная декомпозиция неориентированного графа G — это разбиение множества его рёбер на последовательность ушей, так что конечные точки каждого уха принадлежат ранее выделенным ушам в последовательности, при этом внутренние вершины каждого уха не принадлежат предыдущим ушам. Кроме того, в большинстве случаев первое ухо в последовательности должно быть циклом. Открытая или правильная ушная декомпозиция — это ушная декомпозиция, в которой две конечные точки каждого уха, кроме первого, отличаются.
Ушную декомпозицию можно использовать для описания некоторых важных классов графов, и как часть эффективных . Ушную декомпозицию можно обобщить для матроидов .
Некоторые важные классы графов могут быть описаны определённым типом ушных декомпозиций.
Граф вершинно k-связнен , если удаление лишь ( k − 1) вершин оставляет подграф связным, и рёберно k-связен , если удаление любых ( k − 1) рёбер оставляет связный подграф.
Следующий результат принадлежит Хаслеру Уитни :
Следующий результат принадлежит Герберту Робинсону :
В обоих случаях число ушей необходимо равно контурному рангу графа. Роббинс применил ушную декомпозицию рёберно 2-связных графов в качестве средства доказательства теоремы Роббинса , что это в точности графы, которым может быть задана сильно связная ориентация. Поскольку Уитни и Робинсон первыми исследовали ушную декомпозицию, она иногда называется синтезом Уитни – Робинсона .
Неразделяющая ушная декомпозиция — это открытая ушная декомпозиция, такая, что для каждой вершины v , за исключением одной, v имеет соседнюю вершину, которая появляется в декомпозиции позже вершины v . Этот тип декомпозиции можно использовать для обобщения результата Уитни:
Если такая декомпозиция существует, она может быть выбрана относительно ребра uv графа G таким образом, что u принадлежит первому уху, v является новой вершиной в последнем ухе с более чем одним ребром и uv является ухом, состоящим из одного ребра. Этот результат впервые высказали явно Черьян и Махешвари , но, как пишет Шмидт , он эквивалентен результату тезисов Ph.D. диссертации 1971 года Ли Мондшейна. Структуры, тесно связанные с неразделяющими ушными декомпозициями максимальных планарными графами, называемые каноническими упорядочениями, являются также стандартным средством визуализации графов .
Определения, приведённые выше, могут быть перенесены также на ориентированные графы . Ухом тогда будет ориентированный путь, в котором все внутренние вершины имеют полустепень захода и полустепень исхода , равные 1. Ориентированный граф является сильно связным , если он содержит ориентированный путь из любой вершины в любую другую вершину. Тогда имеет место следующая теорема:
Аналогично, ориентированный граф является двусвязным , если для любых двух вершин существует простой цикл, содержащий обе вершины. Тогда
Ушная декомпозиции нечётна , если каждое ухо имеет нечётное число рёбер. Фактор-критический граф , это граф с нечётным числом вершин, такой, что при удалении любой вершины v из графа оставшиеся вершины имеют совершенное паросочетание . Ласло Ловас обнаружил, что:
В более общем смысле, результат Франка делает возможным найти для любого графа G ушную декомпозицию с наименьшим количеством чётных ушей.
Древесная ушная декомпозиция — это правильная ушная декомпозиция, в которой первое ухо является отдельным ребром и для каждого последующего уха существует единственное ухо , , в котором обе конечные точки лежат на . Вложенная ушная декомпозиция — это древесная ушная декомпозиция, такая, что внутри каждого уха множество пар конечных точек других ушей , лежащих внутри , образует множество вложенных интервалов. Параллельно-последовательный граф — это граф с двумя выделенными различными концами s и t , который может быть образован рекурсивно путём комбинирования меньших параллельно-последовательных графов одним из двух способов — последовательное соединение (отождествляем один конец одного из графов с одним концом другого графа, а другие два конца обоих графов становятся концами объединения) и параллельное соединение (отождествляем обе пары терминалов обоих меньших графов).
Следующий результат принадлежит Дэвиду Эпштейну :
Более того, любая открытая ушная декомпозиция вершинно 2-связного параллельно-последовательного графа должна быть вложенной. Результат можно обобщить на параллельно-последовательные графы, не являющиеся вершинно 2-связными с помощью открытой ушной декомпозиции, которая стартует с пути между двумя концами.
Концепция ушной декомпозиции может быть обобщена с графов на матроиды . Ушная декомпозиция матроида определяется как последовательность циклов матроида, имеющая два свойства:
Если применить к графа G , это определение ушной декомпозиции совпадает с определением правильной декомпозиции G — неправильные декомпозиции исключаются требованием, что каждый цикл включает по меньшей мере одно ребро, принадлежащее предыдущим циклам. Если использовать это определение, матроид может быть определён фактор–критичным, если он имеет ушную декомпозицию, в которой каждый цикл в последовательности имеет нечётное число новых элементов .
Ушная декомпозиция рёберно 2-связных графов и открытая декомпозиция вершинно 2-связных графов могут быть найдены с помощью жадных алгоритмов , которые находят каждое ухо поодиночке. Простой жадный алгоритм, вычисляющий за одно и то же время ушное разложение, открытое ушное разложение, и st-ориентацию за линейное время (если они существуют), предложил Шмидт . Подход основывается на вычислении специального вида ушной декомпозиции, разложения на цепи с одним правилом генерации путей. Шмидт показал , что неразделяющая ушная декомпозиция может быть построена за линейное время.
Ловас , Маон, Шибер и Вышкин , а также Миллер и Рамачандран привели эффективные параллельные алгоритмы для построения ушных декомпозиций различных типов. Например, чтобы найти ушную декомпозицию рёберно 2-связного графа, алгоритм Маона, Шибера и Вышкина проходит следующие шаги:
Этот алгоритм можно использовать в качестве процедуры для других задач, включая проверку связности, распознавание последовательно-параллельных графов и построение st -нумерации графов (важная процедура для проверки планарности ).
Ушная декомпозиция матроида с дополнительным ограничением, что любое ухо содержит одно и то же фиксированное число элементов матроида, может быть найдено за полиномиальное время , если имеется для матроида .