Квадратные решётки

Вертикальный квадрат Simple	Диагональный квадрат Centered

Квадратная решётка — это вид решётки в двумерном евклидовом пространстве . Решётка является двумерной версией целочисленной решётки и обозначается Z ² . Решётка является одной из пяти типов двумерных решёток, классифицированных по группам симметрии , Группа симметрии решётки в обозначениях IUC — p4m , в — [4,4] , а в — *442 .

Две ориентации решётки наиболее популярны. Обычно квадраты решётки размещаются так, что стороны квадрата вертикальны и горизонтальны (будем называть это вертикальной решёткой), либо стороны квадратов расположены под углом 45 градусов по отношению к осям. В последнем случае решётку иногда называют центрированной квадратной решёткой .

Симметрия

Симметрия квадратной решётки — это группа обоев p4m. Орнамент с этой решёткой симметрии переноса не может иметь более высокую степень симметрии, чем сама решётка, но может иметь меньшую степень. Вертикальную квадратную решётку можно рассматривать как диагональную решётку с размером сетки в √2 раза больше и центры этой решётки находятся в центре квадратов. Соответственно, после добавления центров квадратов в квадраты вертикальной решётки мы получаем решётку в √2 раза меньшую исходной решётки. Орнамент с 4-кратной вращательной симметрией имеет квадратную решётку 4-кратных центров вращения, которая в √2 раза мельче и расположена диагонально по отношению к исходной решётке симметрии переноса .

По отношению осей отражения существует три возможных ситуации:

• Отсутствие симметрии. Это группа обоев p4.
• В четырёх направлениях. Это группа обоев p4m.
• В двух перпендикулярных направлениях. Это группа обоев p4g. Точки пересечения осей отражения образуют квадратную решётку, которая по размерам и по направлениям совпадает с квадратной решёткой центров вращения.

p4, [4,4] + , (442)	p4g, [4,4 + ], (4*2)	p4m, [4,4], (*442)
Группа обоев p4, с расположением внутри примитивной ячейки 2- и 4-кратных центров вращения (верно и для p4g и p4m). Фундаментальная область показана жёлтым цветом.	Группа обоев p4g. Есть оси отражения в двух направлениях, не проходящие через 4-кратные центры вращения.	Группа обоев p4m. Есть оси отражения в четырёх направлениях, проходящие через 4-кратные центры вращения. В двух направлениях оси отражения ориентированы так же и с той же плотностью, что и для p4g, но сдвинуты. В двух направлениях они в √2 плотнее.

См. также

• Центрированное квадратное число
• Гауссовы целые числа
• Шестиугольная решётка
• Квадратный паркет

Примечания

Литература