Особенность , или сингулярность в математике , — это точка, в которой математический объект (обычно функция ) не определён или имеет нерегулярное поведение (например, точка, в которой функция имеет разрыв или недифференцируема ).

Особенности в комплексном анализе

Комплексный анализ рассматривает особенности голоморфных (и более общий случай: аналитических ) функций — точки комплексной плоскости , в которой эта функция не определена, её предел бесконечен либо предела не существует вовсе. В случае точек ветвления аналитических функций функция в особой точке может быть определена и непрерывна , но не являться аналитичной.

Особенности в действительном анализе

Функция ${\displaystyle f(x)=1/x}$ имеет особую точку в нуле, где она стремится к положительной бесконечности справа и к отрицательной бесконечности — слева.	·	Функция ${\displaystyle g(x)=|x|}$ также имеет особенность в нуле, где она недифференцируема.
График, определённый выражением ${\displaystyle y^{2}=x}$ , имеет в нуле особенность — вертикальную касательную.	Кривая, заданная уравнением ${\displaystyle y^{2}=x^{3}+x^{2}}$ , имеет в (0,0) особенность — точку самопересечения.

Особенности в алгебраической геометрии

Особенность алгебраического многообразия — это точка, в которой касательное пространство к многообразию не может быть корректно определено. Неособые точки называют также регулярными. Простейший пример особенности — кривая , пересекающая сама себя. Существуют и другие типы особенностей, например каспы : кривая, определённая уравнением ${\displaystyle x^{2}=y^{3}}$ имеет касп в начале координат. Можно было бы сказать, что ось x касается кривой в этой точке, однако для этого пришлось бы изменить определение касательной. Более корректно, эта кривая имеет «двойную касательную» в начале координат.

Для аффинных или проективных многообразий, особенности — это в точности те точки, в которых ранг матрицы Якоби (матрицы из частных производных многочленов, задающих многообразие) ниже, чем в других точках.

Используя термины коммутативной алгебры , можно дать другое определение, которое поддаётся обобщению на абстрактные многообразия и схемы : точка x является регулярной тогда и только тогда, когда локальное кольцо рациональных функций в этой точке является регулярным кольцом .

В статье не хватает ссылок на источники (см. рекомендации по поиску ). Информация должна быть проверяема , иначе она может быть удалена. Вы можете статью, добавив ссылки на авторитетные источники в виде сносок . ( 7 июня 2019 )