Теоре́ма Га́мильтона — Кэ́ли — классическая теорема линейной алгебры , утверждает, что любая квадратная матрица удовлетворяет своему характеристическому уравнению. Названная в честь Уильяма Гамильтона и Артура Кэли .

Формулировка

Если ${\displaystyle \ A}$ — квадратная матрица и ${\displaystyle \ c(\lambda )}$ её характеристический многочлен , то ${\displaystyle \ c(A)=0}$ .

Следствия

• Теорема Гамильтона — Кэли обуславливает существование аннулирующего многочлена .
• Теорема Гамильтона — Кэли эквивалентна утверждению, что характеристический многочлен делится без остатка на минимальный многочлен .

Вариации и обобщения

• Пусть ${\displaystyle p_{A}(\lambda )}$ — характеристический многочлен матрицы ${\displaystyle A}$ , а матрица ${\displaystyle X}$ коммутирует с ${\displaystyle A}$ . Тогда ${\displaystyle p_{A}(X)=M(A-X)}$ , где ${\displaystyle M}$ — некоторая матрица, коммутирующая с ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle X}$ .

• Если в характеристическом многочлене ${\displaystyle f(x_{1},...,x_{m})}$ заменить ${\displaystyle x^{z}}$ на ${\displaystyle A^{z}}$ , то получим нулевую матрицу .

См. также

• Минимальный многочлен матрицы
• Характеристический многочлен матрицы
• Аннулирующий многочлен
• Лямбда-матрица

Примечания

Литература

• Гантмахер Ф. Р. . — 2-е изд. — М. : Наука , 1966 .
• Ланкастер П. . — М. : Наука , 1973 .
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М. : Наука, 1996. — 304 с. — ISBN 5-02-014727-3 .