Уравнение Кэли — Дарбу́
— дифференциальное уравнение с частными производными третьего порядка, которому должна удовлетворять функция
u
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
{\displaystyle u(x_{1},x_{2},x_{3})}
для того, чтобы семейство поверхностей
u
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
=
c
o
n
s
t
{\displaystyle u(x_{1},x_{2},x_{3})=const}
могло быть дополнено до трижды ортогональной системы поверхностей.
Получены
Артурoм Кэли
и
Гастоном Дарбу
.
Формулировка
Уравнение Кэли — Дарбу может быть записано как равенство нулю следующего
определителя
:
|
c
11
c
22
c
33
2
c
12
2
c
23
2
c
31
u
11
u
22
u
33
2
u
12
2
u
23
2
u
31
1
1
1
0
0
0
u
1
0
0
u
2
0
u
3
0
u
2
0
u
1
u
3
0
0
0
u
3
0
u
2
u
1
|
=
0
,
{\displaystyle {\begin{vmatrix}c_{11}&c_{22}&c_{33}&2c_{12}&2c_{23}&2c_{31}\\u_{11}&u_{22}&u_{33}&2u_{12}&2u_{23}&2u_{31}\\1&1&1&0&0&0\\u_{1}&0&0&u_{2}&0&u_{3}\\0&u_{2}&0&u_{1}&u_{3}&0\\0&0&u_{3}&0&u_{2}&u_{1}\\\end{vmatrix}}=0,}
где
c
α
β
=
∑
k
=
1
3
(
u
k
u
α
β
k
−
2
u
α
k
u
β
k
)
{\displaystyle c_{\alpha \beta }=\sum _{k=1}^{3}(u_{k}u_{\alpha \beta k}-2u_{\alpha k}u_{\beta k})}
,
a
u
k
=
u
x
k
,
⋯
,
u
α
β
γ
=
u
x
α
x
β
x
γ
{\displaystyle u_{k}=u_{x_{k}},\cdots ,u_{\alpha \beta \gamma }=u_{x_{\alpha }x_{\beta }x_{\gamma }}}
.
Примечания
Cayley A., «C. r. Acad. sci.», 1872, t.75, p. 324-30; 381-85;
Darboux G., Leçons sur les systémes orthogonaux et les coordonnées curvilignes, P./ 1898;
golda
