Сопряжённые числа ( комплексно-сопряжённые числа ) — пара комплексных чисел , обладающих одинаковыми действительными частями и равными по абсолютной величине , но противоположными по знаку, мнимыми частями . Например, сопряжёнными являются числа ${\displaystyle 3+4i}$ и ${\displaystyle 3-4i}$ . Число, сопряжённое к числу ${\displaystyle z}$ , обозначается ${\displaystyle {\overline {z}}}$ . В общем случае, сопряжённым к числу ${\displaystyle z=a+ib}$ (где ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — действительные числа ) является ${\displaystyle {\overline {z}}=a-ib}$ .

Например:

${\displaystyle {\overline {(3-2i)}}=3+2i}$

${\displaystyle {\overline {7}}=7}$

${\displaystyle {\overline {i}}=-i.}$

На комплексной плоскости сопряжённые числа представлены точками, симметричными относительно действительной оси. В полярной системе координат сопряжённые числа имеют вид ${\displaystyle re^{i\phi }}$ и ${\displaystyle re^{-i\phi }}$ , что непосредственно следует из формулы Эйлера .

Сопряжёнными числами являются корни квадратного уравнения с действительными коэффициентами и отрицательным дискриминантом.

Свойства

Для произвольных комплексных чисел ${\displaystyle z}$ и ${\displaystyle w}$ :

• ${\displaystyle {\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}}$ ,
• ${\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}}$
• ${\displaystyle {\overline {z}}=z\Leftrightarrow z}$ является действительным числом,
• ${\displaystyle {\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}}$ для всех целых ${\displaystyle n}$ ,
• ${\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}$ ,
• ${\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z}$ ,
• ${\displaystyle {\overline {\overline {z}}}=z}$ (то есть, сопряжение является инволюцией ),
• ${\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{{\left|z\right|}^{2}}}}$ , если ${\displaystyle z}$ не равно нулю. С помощью этого свойства вычисляют обратное комплексного числа заданного в прямоугольных координатах.

Если ${\displaystyle \phi }$ является голоморфной функцией , сужение которой на множество действительных чисел является действительной функцией, и определены ${\displaystyle \phi (z)}$ , то:

${\displaystyle \phi ({\overline {z}})={\overline {\phi (z)}}}$ .

В частности:

• ${\displaystyle \exp({\overline {z}})={\overline {\exp(z)}}}$
• ${\displaystyle \log({\overline {z}})={\overline {\log(z)}}}$ , если ${\displaystyle z}$ не равно нулю.
• если ${\displaystyle p}$ — полином с действительными коэффициентами и ${\displaystyle p(z)=0}$ , то также ${\displaystyle p({\overline {z}})=0}$ , то есть комплексные (не действительные) таких многочленов всегда образуют комплексно-сопряжённые пары.

Определение координат числа и сопряжения

Прямоугольные и полярные координаты комплексного числа могут быть определены с помощью формул:

• ${\displaystyle x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z}})/2}$
• ${\displaystyle y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z}})/2i}$
• ${\displaystyle \rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}}}}}$
• ${\displaystyle e^{i\theta }=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z}}}}}$ (если ${\displaystyle z}$ не равно нулю).

Примечания

Литература

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М. : Наука , 1969. — 577 с.