Топологическое кольцо — кольцо , снабжённое естественной топологией .

Определения

Топологическое кольцо — кольцо с топологией , относительно которой сложение и умножение непрерывны .

В определении топологического поля дополнительно требуется, что взятие обратного ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ непрерывно во всех элементах кроме 0.

Примеры

Топологические кольца

• Кольцо непрерывных вещественно-значных функций на топологическом пространстве с топологией поточечной сходимости.
• Кольцо непрерывных линейных операторов на нормированном пространстве ;
• Банахова алгебра .
• Двойные , дуальные и другие гиперкомплексные числа .

Топологические поля

• рациональные , вещественные , комплексные и р -адические числа.
• Локальное поле

Свойства

• Пополнение топологического кольца даёт полное топологическое кольцо.

• Группа единиц ${\displaystyle K^{\times }}$ топологического кольца ${\displaystyle K}$ образуют топологическую группу , с топологией индуцированной вложением в ${\displaystyle u\mapsto (u,u^{-1})}$ .
  • Однако если группа ${\displaystyle K^{\times }}$ снабжена топологией как подпространство в ${\displaystyle K}$ , то она может не быть топологической группой, поскольку в этой топологии отображение ${\displaystyle u\mapsto u^{-1}}$ не обязано быть непрерывным. Это происходит например в .

Ссылки

• Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. — М. : Наука, 1973. — 519 с.