Кольцо́ (также ассоциативное кольцо ) в общей алгебре — алгебраическая структура , в которой определены операция обратимого сложения и операция умножения , по свойствам похожие на соответствующие операции над числами . Простейшими примерами колец являются совокупности чисел ( целых , вещественных , комплексных ), совокупности числовых функций , определённых на заданном множестве. Во всех случаях имеется множество, похожее на совокупности чисел в том смысле, что его элементы можно складывать и умножать, причём эти операции ведут себя естественным образом .

Понятие кольца было введено для изучения общих свойств операций умножения и сложения, их внутренней связи между собой, безотносительно природы элементов, над которыми операции производятся.

Кольца являются основным объектом изучения теории колец — крупного раздела общей алгебры, в котором разработаны инструментальные средства, нашедшие широкое применение в алгебраической геометрии , алгебраической теории чисел , алгебраической ${\displaystyle K}$ -теории , теории инвариантов .

История

Бурное развитие алгебры как науки началось в XIX веке. Одной из главных задач теории чисел в 1860—1870-е годы было построение теории делимости в общих полях алгебраических чисел . Решение этой задачи было опубликовано Рихардом Дедекиндом («X Дополнение к лекциям по теории чисел Дирихле», 1871 год). В этой работе было впервые рассмотрено понятие кольца целых числового поля, в этом контексте были определены понятия модуля и идеала .

Определение

Кольцо — множество ${\displaystyle R}$ , на котором заданы две бинарные операции : ${\displaystyle +}$ и ${\displaystyle \times }$ (называемые сложение и умножение ), со следующими свойствами, выполняющимися для любых ${\displaystyle a,b,c\in R}$ :

1. ${\displaystyle a+b=b+a}$ — коммутативность сложения;
2. ${\displaystyle a+(b+c)=(a+b)+c}$ — ассоциативность сложения;
3. ${\displaystyle \exists 0\in R\ \left(a+0=0+a=a\right)}$ — существование нейтрального элемента относительно сложения;
4. ${\displaystyle \forall a\in R\;\exists b\in R\left(a+b=b+a=0\right)}$ — существование противоположного (обратного) элемента относительно сложения;
5. ${\displaystyle (a\times b)\times c=a\times (b\times c)}$ — ассоциативность умножения;
6. ${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c)\\(b+c)\times a=(b\times a)+(c\times a)\end{matrix}}\right.}$ — дистрибутивность .

Иными словами, кольцо — универсальная алгебра ${\displaystyle \left(R,+,\times \right)}$ , являющаяся абелевой группой относительно сложения ${\displaystyle +}$ , полугруппой относительно умножения ${\displaystyle \times }$ и обладающая двусторонней дистрибутивностью ${\displaystyle \times }$ относительно ${\displaystyle +}$ .

Часто отдельно изучаются кольца, обладающие одним или обоими следующими дополнительными свойствами:

• наличие единицы : ${\displaystyle \exists e\in R\;\forall a\in R\left(a\times e=e\times a=a\right)}$ ( кольцо с единицей ), обычно единица обозначается 1;
• коммутативность умножения: ${\displaystyle \forall a,b\in R\left(a\times b=b\times a\right)}$ ( коммутативное кольцо );

Иногда под кольцом понимают только кольца с единицей (то есть требуют, чтобы полугруппа ${\displaystyle \left(R,\times \right)}$ была моноидом ), но изучаются также и кольца без единицы (например, кольцо чётных чисел является коммутативным ассоциативным кольцом без единицы ).

Вместо символа ${\displaystyle \times }$ часто используют символ ${\displaystyle \cdot }$ (либо вовсе его опускают).

Группа ${\displaystyle \left(R,+\right)}$ называется аддитивной группой кольца ${\displaystyle \left(R,+,\times \right)}$ , а полугруппа ${\displaystyle \left(R,\times \right)}$ — мультипликативной полугруппой этого же кольца.

Простейшие свойства

Непосредственно из аксиом кольца можно вывести следующие свойства:

• относительно сложения в кольце нейтральный элемент единственен;
• для любого элемента кольца обратный к нему по сложению элемент единственен;
• нейтральный элемент относительно умножения, если он существует, единственен;
• ${\displaystyle a\cdot 0=0}$ , то есть 0 — поглощающий элемент по умножению;
• ${\displaystyle (-b)=(-1)\cdot b}$ , где ${\displaystyle (-b)}$ — элемент, обратный к ${\displaystyle b}$ по сложению;
• ${\displaystyle (-a)\cdot b=(-ab)}$ ;
• ${\displaystyle (-a)\cdot (-b)=(ab)}$ .

Основные понятия

Виды элементов кольца

Пусть в кольце есть элементы, отличные от нуля (кольцо не является тривиальным ). Тогда левый делитель нуля — ненулевой элемент ${\displaystyle a}$ кольца ${\displaystyle R,}$ для которого существует ненулевой элемент ${\displaystyle b}$ кольца ${\displaystyle R}$ , такой что ${\displaystyle ab=0}$ . Аналогично определяется правый делитель нуля. В коммутативных кольцах эти понятия совпадают. Например, для кольца непрерывных функций на интервале ${\displaystyle (-1,1)}$ выбрав ${\displaystyle f(x)=\max(0,x)}$ и ${\displaystyle g(x)=\max(0,-x)}$ будет иметь место ${\displaystyle f\neq 0,g\neq 0,fg=0}$ , то есть ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ являются делителями нуля. Здесь условие ${\displaystyle f\neq 0}$ означает, что ${\displaystyle f}$ является функцией, отличной от нуля, но не означает, что ${\displaystyle f}$ нигде не принимает значение ${\displaystyle 0}$ .

Нильпотентный элемент — элемент ${\displaystyle a,}$ такой что ${\displaystyle a^{n}=0}$ для некоторого ${\displaystyle n>0}$ . Пример: матрица ${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ . Нильпотентный элемент всегда является делителем нуля (если только кольцо состоит не из одного нуля), обратное в общем случае неверно .

Идемпотентный элемент ${\displaystyle e}$ — такой элемент, что ${\displaystyle e\cdot e=e}$ . Например, идемпотентен любой оператор проектирования , в частности, следующий: ${\displaystyle {\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&0\\0&0\end{smallmatrix}}{\bigr )}}$ в кольце матриц ${\displaystyle 2\times 2}$ .

Если ${\displaystyle a}$ — произвольный элемент кольца с единицей ${\displaystyle R,}$ то левым обратным элементом к ${\displaystyle a}$ называется ${\displaystyle a_{l}^{-1}}$ такой, что ${\displaystyle a_{l}^{-1}a=1}$ . Правый обратный элемент определяется аналогично. Если у элемента ${\displaystyle a}$ есть как левый, так и правый обратный элемент, то последние совпадают, и говорят, что ${\displaystyle a}$ обладает обратным элементом, который определён однозначно и обозначается ${\displaystyle a^{-1}}$ . Сам элемент называется обратимым элементом.

Подкольцо

Подмножество ${\displaystyle A\subset R}$ называется подкольцом ${\displaystyle R,}$ если ${\displaystyle A}$ само является кольцом относительно операций, определённых в ${\displaystyle R}$ . При этом говорят, что ${\displaystyle R}$ — расширение кольца ${\displaystyle A}$ . Другими словами, непустое подмножество ${\displaystyle A\subset R}$ является подкольцом, если:

• ${\displaystyle A}$ является аддитивной подгруппой кольца ${\displaystyle R}$ , то есть для любых ${\displaystyle x,y\in A:x+y,-x\in A}$ ,
• ${\displaystyle A}$ замкнуто относительно умножения, то есть для любых ${\displaystyle x,y\in A:xy\in A}$ .

По определению, подкольцо непусто , поскольку содержит нулевой элемент . Нуль и единица кольца являются нулем и единицей любого его подкольца .

Подкольцо наследует свойство коммутативности .

Пересечение любого множества подколец является подкольцом. Наименьшее подкольцо, содержащее подмножество ${\displaystyle E\subset R}$ называется подкольцом, порождённым ${\displaystyle E}$ , а ${\displaystyle E}$ — системой образующих для кольца ${\displaystyle R}$ . Такое подкольцо всегда существует, так как пересечение всех подколец, содержащих ${\displaystyle E}$ , удовлетворяет этому определению .

Подкольцо кольца с единицей ${\displaystyle R}$ , порождённое его единицей, называется наименьшим или главным подкольцом кольца ${\displaystyle R}$ . Такое подкольцо содержится в любом подкольце кольца ${\displaystyle R}$ .

Идеалы

Определение и роль идеала кольца сходны с определением нормальной подгруппы в теории групп .

Непустое подмножество ${\displaystyle I}$ кольца ${\displaystyle R}$ называется левым идеалом, если:

• ${\displaystyle I}$ является аддитивной подгруппой кольца, то есть сумма любых двух элементов из ${\displaystyle I}$ принадлежит ${\displaystyle I,}$ а также ${\displaystyle a\in I\Rightarrow -a\in I}$ ;
• ${\displaystyle I}$ замкнуто относительно умножения слева на произвольный элемент кольца, то есть для любого ${\displaystyle a\in I,}$ ${\displaystyle r\in R}$ верно ${\displaystyle ra\in I}$ .

Из первого свойства следует и замкнутость ${\displaystyle I}$ относительно умножения внутри себя, так что ${\displaystyle I}$ является подкольцом.

Аналогично определяется правый идеал, замкнутый относительно умножения на элемент кольца справа.

Двусторонний идеал (или просто идеал) кольца ${\displaystyle R}$ — любое непустое подмножество, являющееся одновременно левым, так и правым идеалом.

Также идеал кольца ${\displaystyle R}$ может определяться как ядро некоторого гомоморфизма ${\displaystyle f\colon R\to R'}$ .

Если ${\displaystyle x}$ — элемент кольца ${\displaystyle R}$ , то множество элементов вида ${\displaystyle Rx}$ (соответственно, ${\displaystyle xR}$ ) называется левым (соответственно, правым) главным идеалом , порождённым ${\displaystyle x}$ . Если кольцо ${\displaystyle R}$ коммутативно, эти определения совпадают и главный идеал, порождённый ${\displaystyle x,}$ обозначается ${\displaystyle (x)}$ . Например, множество всех чётных чисел образует идеал в кольце целых чисел, этот идеал порождён элементом 2. Можно доказать, что все идеалы в кольце целых чисел являются главными .

Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом, называется простым , если факторкольцо по этому идеалу не имеет делителей нуля. Идеал кольца, не совпадающий со всем кольцом и не содержащийся ни в каком большем идеале, не равном кольцу, называется максимальным .

Гомоморфизм

Гомоморфизм колец (кольцевой гомоморфизм) — отображение, сохраняющее операции сложения и умножения. А именно, гомоморфизм из кольца ${\displaystyle R}$ в кольцо ${\displaystyle S}$ — функция ${\displaystyle f:R\to S,}$ такая что

1. ${\displaystyle f(a+b)=f(a)+f(b)}$ ,
2. ${\displaystyle f(a\cdot b)=f(a)\cdot f(b),~\forall a,b\in ~R}$ .

В случае колец с единицей иногда требуют также условия ${\displaystyle f(1)=1}$ .

Гомоморфизм колец называется изоморфизмом, если существует обратный гомоморфизм колец. Любой биективный гомоморфизм колец является изоморфизмом. Автоморфизм — гомоморфизм из кольца в себя, который является изоморфизмом. Пример: тождественное отображение кольца на себя является автоморфизмом .

Если ${\displaystyle f:R\to S}$ — гомоморфизм колец, множество элементов ${\displaystyle R,}$ переходящих в ноль, называется ядром ${\displaystyle f}$ (обозначается ${\displaystyle \mathrm {ker} f}$ ). Ядро любого гомоморфизма является двусторонним идеалом . С другой стороны, образ ${\displaystyle f}$ не всегда является идеалом, но является подкольцом ${\displaystyle S}$ (обозначается ${\displaystyle \mathrm {im} f}$ ).

Факторкольцо

Определение факторкольца по идеалу аналогично определению факторгруппы . Более точно, факторкольцо кольца ${\displaystyle R}$ по двустороннему идеалу ${\displaystyle I}$ — множество классов смежности аддитивной группы ${\displaystyle R}$ по аддитивной подгруппе ${\displaystyle I}$ со следующими операциями:

• ${\displaystyle (a+I)+(b+I)=(a+b)+I}$ ,
• ${\displaystyle (a+I)(b+I)=(ab)+I}$ .

Аналогично случаю групп, существует канонический гомоморфизм ${\displaystyle p:R\to R/I}$ , задаваемый как ${\displaystyle x\mapsto x+I}$ . Ядром при этом является идеал ${\displaystyle I}$ .

Аналогично теореме о гомоморфизме групп существует теорема о гомоморфизме колец: пусть ${\displaystyle f:R\to R',}$ тогда ${\displaystyle \mathrm {Im} f}$ изоморфен факторкольцу по ядру гомоморфизма ${\displaystyle \mathrm {Im} f\simeq R/\mathrm {Ker} f}$ .

Некоторые особые классы колец

• Кольцо с единицей ${\displaystyle 1\neq 0}$ , в котором каждый ненулевой элемент обратим, называется телом .
• Коммутативное тело называется полем ; иначе говоря, поле — коммутативное кольцо с единицей, не имеющее нетривиальных идеалов .
• Коммутативное кольцо без делителей нуля называется областью целостности (или целостным кольцом) . Любое поле является областью целостности, но обратное неверно .
• Целостное кольцо ${\displaystyle R}$ , не являющееся полем, называется евклидовым , если на кольце задана норма ${\displaystyle N\colon R\to Z_{+}}$ такая, что:
  1. для любых ненулевых ${\displaystyle a,b\in R}$ верно, что ${\displaystyle N(a)\leq N(ab)}$ ;
  2. для любых ненулевых ${\displaystyle a,b\in R}$ существуют ${\displaystyle q,r\in R}$ такие, что ${\displaystyle a=qb+r}$ и ${\displaystyle r=0}$ или ${\displaystyle N(r)<N(b)}$ .
• Целостное кольцо, в котором всякий идеал является главным, называется кольцом главных идеалов ; всякие евклидово кольцо и всякое поле являются кольцами главных идеалов .
• Кольцо, элементами которого являются числа , а операциями — сложение и умножение чисел, называют числовым кольцом , например, множество чётных чисел является числовым кольцом, но не будет кольцом никакая система отрицательных чисел, так как их произведение положительное .

Примеры

• ${\displaystyle \{0\}}$ — тривиальное кольцо , состоящее из одного нуля. Это единственное кольцо, в котором ноль является мультипликативной единицей . Этот тривиальный пример полезно считать кольцом с точки зрения теории категорий , так как при этом в категориях колец возникает терминальный объект .
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — целые числа (с обычным сложением и умножением). Это важнейший пример кольца, так как любое кольцо можно рассматривать как алгебру над ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ . Также это начальный объект в категории Ring колец с единицей.
• ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ — конечное кольцо вычетов по модулю натурального числа n . Это классические примеры колец из теории чисел. Кольцо вычетов является полем тогда и только тогда, когда число n простое . Соответствующие поля являются отправной точкой для построения теории конечных полей . Кольца вычетов также важны при исследовании структуры конечнопорождённых абелевых групп , их также можно использовать для построения p -адических чисел .
• ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — кольцо рациональных чисел , являющееся полем. Это простейшее поле характеристики 0. Оно является основным объектом исследования в теории чисел. Пополнение его по различным неэквивалентным нормам даёт поля вещественных чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$ и p -адических чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} _{p},}$ где p — произвольное простое число .
• Для произвольного коммутативного кольца ${\displaystyle R}$ можно построить кольцо многочленов от n переменных ${\displaystyle R[x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}]}$ с коэффициентами в ${\displaystyle R}$ . В частности, ${\displaystyle R[x][y]=R[x,y]}$ . Кольцо многочленов с целыми коэффициентами является универсальным кольцом многочленов, в том смысле что все кольца многочленов выражаются через тензорное произведение : ${\displaystyle R[x_{1},\dots ,x_{n}]=R\otimes \left(\mathbb {Z} [x_{1},\dots ,x_{n}]\right)}$ .
• Кольцо подмножеств множества ${\displaystyle X}$ — кольцо, элементами которого являются подмножества в ${\displaystyle X}$ . Операция сложения есть симметрическая разность , а умножение — пересечение множеств :

${\displaystyle A+B=A\Delta B=(A\setminus B)\cup (B\setminus A),}$

${\displaystyle A\cdot B=A\cap B}$ .

Аксиомы кольца легко проверяются. Нулевым элементом является пустое множество, единичным — всё ${\displaystyle X}$ . Все элементы кольца являются идемпотентами, то есть ${\displaystyle A\cdot A=A}$ . Любой элемент является своим обратным по сложению: ${\displaystyle A+A=0}$ . Кольцо подмножеств важно в теории булевых алгебр и теории меры , в частности в построении теории вероятностей .

Конструкции

Прямое произведение

Произведение ${\displaystyle R\times S}$ колец ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle S}$ можно снабдить естественной структурой кольца: для любых ${\displaystyle r_{1},r_{2}\in R}$ , ${\displaystyle s_{1},s_{2}\in S}$ :

• ${\displaystyle (r_{1},s_{1})+(r_{2},s_{2})=(r_{1}+r_{2},s_{1}+s_{2})}$ ,
• ${\displaystyle (r_{1},s_{1})\cdot (r_{2},s_{2})=(r_{1}r_{2},s_{1}s_{2})}$ .

Сходная конструкция существует для произведения произвольного семейства колец (сложение и умножение задаются покомпонентно) .

Пусть ${\displaystyle R}$ — коммутативное кольцо и ${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{1},\cdots ,{\mathfrak {a}}_{n}}$ — попарно взаимно простые идеалы в нём (идеалы называются взаимно простыми, если их сумма равна всему кольцу). Китайская теорема об остатках утверждает, что отображение:

${\displaystyle R\to R/{\mathfrak {a}}_{1}\times \cdots \times R/{\mathfrak {a}}_{n},\quad x\mapsto (x+{\mathfrak {a}}_{1},\ldots ,x+{\mathfrak {a}}_{n})}$

сюръективно, а его ядро — ${\displaystyle \prod {\mathfrak {a}}_{i}=\cap {\mathfrak {a}}_{i}}$ ( произведение идеалов , пересечение идеалов ) .

Кольцо эндоморфизмов

Множество эндоморфизмов абелевой группы ${\displaystyle (A,+)}$ образует кольцо, обозначаемое ${\displaystyle \operatorname {End} (A)}$ . Сумма двух эндоморфизмов определяется покомпонентно: ${\displaystyle (f+g)(x)=f(x)+g(x)}$ , а произведение — как композиция: ${\displaystyle (fg)(x)=f(g(x))}$ . Если ${\displaystyle (A,+)}$ — неабелева группа, то ${\displaystyle f+g}$ , вообще говоря, не равно ${\displaystyle g+f}$ , тогда как сложение в кольце должно быть коммутативным .

Поле частных и кольцо частных

Для целостного кольца ${\displaystyle R}$ существует конструкция, позволяющая построить наименьшее поле , содержащее его. Поле частных кольца ${\displaystyle R}$ — множество классов эквивалентности формальных дробей ${\displaystyle p/q,\;p,q\in R}$ по следующему отношению эквивалентности :

${\displaystyle {p_{1} \over q_{1}}\sim {p_{2} \over q_{2}}}$ тогда и только тогда, когда ${\displaystyle {p_{1}q_{2}}={p_{2}q_{1}}}$ ,

с обычными операциями: ${\displaystyle {a \over b}+{c \over d}={ad+bc \over bd}}$ и ${\displaystyle {a \over b}\cdot {c \over d}={ac \over bd}}$ .

Не вполне очевидно, что заданное отношение действительно является отношением эквивалентности: для доказательства приходится воспользоваться целостностью кольца. Существует обобщение данной конструкции на произвольные коммутативные кольца: мультипликативно замкнутая система ${\displaystyle S}$ в коммутативном кольце ${\displaystyle R}$ (то есть подмножество, содержащее единицу и не содержащее нуля; произведение любых двух элементов из подмножества снова ему принадлежит) — кольцо частных ${\displaystyle S^{-1}R}$ — множество классов эквивалентности формальных дробей ${\displaystyle r/s,\;r\in R,s\in S}$ по отношению эквивалентности:

${\displaystyle {r_{1} \over s_{1}}\sim {r_{2} \over s_{2}}}$ тогда и только тогда, когда существует ${\displaystyle s'\in S}$ , такое что ${\displaystyle s'({r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}})=0}$ .

Также эту конструкцию называют локализацией кольца (так как в алгебраической геометрии она позволяет исследовать локальные свойства многообразия в отдельной его точке). Пример: кольцо десятичных дробей — локализация кольца целых чисел по мультипликативной системе ${\displaystyle S=\{10^{n}\mid n\geqslant 0\}}$ .

Существует естественное отображение ${\displaystyle R\to S^{-1}R,\,r\mapsto r/1}$ . Его ядро состоит из таких элементов ${\displaystyle r}$ , для которых существует ${\displaystyle s\in S}$ , такое что ${\displaystyle rs=0}$ . В частности, для целостного кольца это отображение инъективно .

Категорное описание

Кольца вместе с гомоморфизмами колец образуют категорию , обычно обозначаемую ${\displaystyle \mathbf {Ring} }$ (иногда так обозначают категорию колец с единицей, а категорию обычных колец обозначают ${\displaystyle \mathbf {Rng} }$ ). Категория колец с единицей обладает многими полезными свойствами: в частности, она полна и кополна . Это значит, что в ней существуют все малые пределы и копределы (например, произведения , копроизведения , ядра и коядра ). Категория колец с единицей обладает начальным объектом (кольцо ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ) и терминальным объектом (нулевое кольцо).

Можно дать следующее категорное определение кольца: ассоциативное кольцо с единицей — моноид в категории абелевых групп (абелевы группы образуют моноидальную категорию относительно операции тензорного произведения ). Действие кольца R на абелевой группе (кольца, рассматриваемого как моноид по умножению) превращает абелеву группу в R - модуль . Понятие модуля обобщает понятие векторного пространства : грубо говоря, модуль — «векторное пространство над кольцом».

Специальные классы колец

Обобщения — неассоциативное кольцо , полукольцо , почтикольцо .

Структуры над кольцами

• Алгебра над кольцом
• Бимодуль над кольцом
• Модуль над кольцом

Примечания

Литература

• М. Атья , И. Макдональд. Введение в коммутативную алгебру. — М. : Мир, 1972. — 160 с.
• Бельский А., Садовский Л. // Квант № 2, 1974.
• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М. : Мир, 1975. — 623 с.
• Винберг Э. Б. Курс алгебры. - Новое издание, перераб. и доп.. — М. : МЦНМО, 2011. — 592 с.
• Глейзер Г. И. История математики в школе: IX-X класс. Пособие для учителей - Новое издание, перераб. и доп.. — М. : Просвещение, 1983. — 351 с.
• Математика XIX века. Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей / Колмогоров А. Н. , Юшкевич А. П. (ред.). — М. : Наука, 1978. — 255 с.
• Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. — М. : Высш. школа, 1979. — 559 с.
• Курош А. Г. Курс высшей алгебры.. — М. : Наука, 1968. — 431 с.
• Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. — М. : Мир, 1977. — Т. 1. — 688 с.
• Фейс К. Алгебра. Кольца, модули, категории. — М. : Мир, 1979. — Т. 2. — 464 с.
• Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М. : Мир, 1972. — 190 с.