Обратимый элемент — элемент кольца с единицей , для которого существует обратный элемент относительно умножения. Другое название — делитель единицы . Также, в основном в переводах с английского, встречается название единица , что может вызывать путаницу с единичным элементом (в английских источниках используются два разных термина: unit element и Identity element ).

Иначе говоря, элемент кольца ${\displaystyle a}$ называется обратимым, если существует элемент ${\displaystyle b}$ , такой что

${\displaystyle ab=ba=e,}$

где ${\displaystyle e}$ — единичный элемент кольца.

Множество всех обратимых элементов кольца образует мультипликативную группу , называемую группой обратимых элементов (реже группой единиц ). Эта группа всегда непустая, так как содержит как минимум единицу кольца.

Ассоциированные элементы

Если ${\displaystyle a}$ — обратимый элемент, то элементы, представимые в виде ${\displaystyle a\cdot x}$ или ${\displaystyle x\cdot a}$ , называются ассоциированными с ${\displaystyle x}$ .

Обычно термин делитель единицы и понятие ассоциированного элемента употребляются для областей целостности .

Группа единиц

Обратимые элементы кольца R образуют группу U ( R ) по умножению, группу единиц кольца R . Другие общепринятые обозначение — R ^× , R ^* и E ( R ) (от немецкого Einheit ).

В коммутативном кольце R группа единиц U ( R ) действует на R посредством умножения. Орбиты этих действий называются множествами ассоциированных элементов ; другими словами, имеется отношение эквивалентности ~ на R , называемое ассоциированностью , где

r ~ s

означает, что существует единица u , такая, что r = us .

Можно показать, что U — это функтор из категории колец в категорию групп : каждый гомоморфизм колец f : R → S порождает гомоморфизм групп U ( f ) : U ( R ) → U ( S ), поскольку f отображает единицы в единицы.

Кольцо R является телом тогда и только тогда , когда U ( R ) = R \ {0}.

Примеры

• В кольце целых чисел два делителя единицы: +1 и −1.
• В кольце вычетов по модулю m обратимыми элементами являются вычеты, взаимно простые с модулем m . Они образуют мультипликативную группу кольца вычетов .
• В кольце гауссовых целых чисел четыре делителя единицы: ${\displaystyle +1,\ -1,\ i,\ -i}$ .
• В кольце многочленов над полем любой ненулевой элемент поля коэффициентов (как многочлен нулевой степени) является делителем единицы.

Примечания

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — М. : Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра. — М. : ИЛ, 1963. — Т. 1.
• Ленг С. Алгебра. — М. : Мир, 1967.