Ба́зис Грёбнера — множество , которое порождает идеал заданного кольца многочленов , обладающее специальными свойствами.

Определение

Пусть для поля ${\displaystyle F}$ и коммутирующих переменных ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ заданы: некоторый идеал ${\displaystyle I}$ кольца многочленов ${\displaystyle F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ от переменных ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$ и некоторый полный порядок « ${\displaystyle \prec }$ » на мономах ${\displaystyle x^{a}=x_{1}^{a_{1}}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{a_{n}}}$ , где ${\displaystyle a=(a_{1},\ldots ,a_{n})\geqslant 0}$ , то есть ${\displaystyle a_{j}\geqslant 0}$ для ${\displaystyle j=1,\ldots ,n}$ . При этом порядок ${\displaystyle \prec }$ обязан дополнительно удовлетворять двум условиям:

1. мультипликативность : ${\displaystyle x^{a}\prec x^{b}}$ влечёт ${\displaystyle x^{a+c}\prec x^{b+c}}$ для ${\displaystyle c\geqslant 0}$ ;
2. : ${\displaystyle 1\prec x^{a}}$ для ${\displaystyle a>0}$ , то есть ${\displaystyle \exists j:a_{j}>0}$ .

Член ${\displaystyle l_{\prec }(p)=\varphi _{l}\cdot x^{l}}$ называется старшим членом (относительно упорядочения ${\displaystyle \prec }$ ) многочлена ${\displaystyle p=\sum _{a\in A(p)}\varphi _{a}\cdot x^{a}\in F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ , если ${\displaystyle x^{a}\prec x^{l}}$ для всех ${\displaystyle a\in A(p)\setminus \{l\}}$ .

Базисом Грёбнера идеала ${\displaystyle I}$ кольца ${\displaystyle F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ называется конечное множество ${\displaystyle G=\{g_{1},\ldots ,g_{m}\}}$ многочленов из ${\displaystyle F[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ , порождающее идеал ${\displaystyle I}$ и обладающее свойством: для любого многочлена ${\displaystyle p\in I}$ найдётся многочлен ${\displaystyle g\in G}$ такой, что ${\displaystyle l_{\prec }(p)}$ делится на ${\displaystyle l_{\prec }(g)}$ .

Виды базисов Грёбнера

Минимальный базис Грёбнера

Минимальным базисом Грёбнера полиномиального идеала I называется его базис Грёбнера G , такой, что:

1. Коэффициент при старшем мономе каждого ${\displaystyle p\in G}$ равен единице.
2. Старший моном каждого ${\displaystyle p\in G}$ не делится ни на один старший моном других элементов базиса.

Редуцированный базис Грёбнера

Редуцированным базисом Грёбнера полиномиального идеала I называется его базис Грёбнера G , такой, что:

1. Коэффициент при старшем мономе каждого ${\displaystyle p\in G}$ равен единице.
2. Никакой из мономов никакого ${\displaystyle p\in G}$ не делится ни на один старший моном других элементов базиса.

Для редуцированного базиса Грёбнера идеала верно следующее утверждение:

Пусть I — полиномиальный идеал, и задано некоторое мономиальное упорядочение. Тогда существует единственный редуцированный базис Грёбнера идеала I .

Алгоритмы построения

Самым первым алгоритмом построения редуцированного базиса Грёбнера идеала считается . Идея алгоритма та же, что в . Интересно, что известный метод Гаусса решения систем линейных уравнений является частным случаем алгоритма Бухбергера.

Кроме того, французским математиком были предложены алгоритмы F4 и F5 нахождения базиса Грёбнера.

Применения

Базис Грёбнера является важнейшим понятием компьютерной алгебры , алгебраической геометрии и вычислительной коммутативной алгебры .

История

Австрийский математик разработал теорию стандартных базисов для свободного коммутативного случая в начале 1930-х годов , а опубликовал её в статье 1950 года , где он написал:

В 1964 году аналогичная концепция для локальных колец была разработана Хэйсукэ Хиронакой , получившим Филдсовскую премию в 1970 году . Он назвал введённые системы полиномов стандартным базисом .

Понятие базиса Грёбнера было введено в 1965 году австрийским математиком Бруно Бухбергером , бывшим студентом Грёбнера. Бухбергер предложил конструктивную процедуру построения базиса Грёбнера в виде эффективного компьютерного алгоритма, впоследствии получившего название .

Существование стандартного базиса идеала опирается на «лемму о композиции», которая впервые была доказана для самого сложного из известных случаев (свободных алгебр Ли ) А. И. Ширшовым . При этом правильность аналогичного утверждения для свободного ассоциативного и коммутативного случая считалась очевидной и не привлекала особого внимания вплоть до более поздних работ Л. А. Бокутя по теории вложений ассоциативных колец в тела и кольца с заданными свойствами. В 1972 году Л. А. Бокуть опубликовал «лемму Ширшова о композиции» для свободного ассоциативного случая в записках курса по ассоциативным алгебрам Новосибирского университета. Отсюда и из устного общения она стала известна американскому алгебраисту Дж. Бергману, который опубликовал её в 1979 году под названием «Diamond Lemma» («алмазная лемма»). Строгое доказательство в работе отсутствовало, а была обозначена только мнемоническая схема «слияния», необходимая для понимания идеи Ширшова о композиции. После публикации Бергмана «алмазная лемма» стала популярна среди алгебраистов и геометров, она также привлекла внимание к «базису Грёбнера» Бухбергера. В середине 1980-х годов стандартный базис для супералгебр и цветных алгебр Ли был построен московским алгебраистом А. А. Михалёвым.

Примечания

Литература

• Аржанцев И. В. . — М. : МЦНМО , 2003. — 68 с. — ISBN 5-94057-095-X .
• Бухбергер Б. и другие. Компьютерная алгебра: Символьные и алгебраические вычисления. — М. : Мир, 1986. — 392 с.
• Кокс Д., Литтл Дж., О'Ши Д. Идеалы, многообразия и алгоритмы. Введение в вычислительные аспекты алгебраической геометрии и коммутативной алгебры. — М. : Мир, 2000. — 687 с. — ISBN 5-03-003320-3 .
• Панкратьев Е. В. . — Интуит. — ISBN 978-5-9556-0099-4 .

Ссылки

• Чуркин В. А. .
• Bernd Sturmfels .