Система Риса — такая система векторов ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\in H}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ с заданными постоянными ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ , что для любой последовательности комплексных чисел ${\displaystyle c=\{c_{n}\}_{n=1}^{\infty }\in l_{2}}$ ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}f_{n}}$ сходится по норме в ${\displaystyle H}$ , причём выполнено:

${\displaystyle A\|c\|_{l_{2}}^{2}\leqslant \left\|\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}f_{n}\right\|_{H}^{2}\leqslant B\|c\|_{l_{2}}^{2}}$ .

Базис Риса — такая система Риса, которая является базисом в ${\displaystyle H}$ ( базисом Шаудера ).

Базис Риса является обобщением понятия ортонормированного базиса, а двойное неравенство, данное в определении — обобщение неравенства Бесселя . Другое название базисов Риса — базисы, эквивалентные ортонормированным .

Система векторов является базисом Риса тогда и только тогда, когда она может быть получена из ортонормированного базиса с помощью ограниченного обратимого преобразования.

Любая система Риса является базисом Риса в пространстве:

${\displaystyle V=\left\{f=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}f_{n},~~\sum _{n=1}^{\infty }|c_{n}|^{2}<\infty \right\}}$ ,

при этом для любого элемента ${\displaystyle f\in V}$ выполняется неравенство:

${\displaystyle A\|f\|^{2}\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }|(f,f_{n})|^{2}\leqslant B\|f\|^{2}}$ .

Любой базис Риса является безусловным базисом, то есть остаётся базисом после любой перестановки элементов.

Литература

• Гохберг И. Ц. , Крейн М. Г. , (недоступная ссылка) , M.: Наука, 1965. — 448 c.
• Бари Н. К. , , Учен. зап. МГУ 148, Математика 4, 69—107.
• Авдонин С. А. , , Исследования по линейным операторам и теории функций. IV, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 39, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1974, 176—177
• Орынбасаров Е. М., Садыбеков М. А. , , Матем. заметки, 51:5 (1992), 86-89.