Выберем правый ортонормированный базис ${\displaystyle {\vec {e_{1}}},~{\vec {e_{2}}},~{\vec {e_{3}}}}$ так, чтобы

${\displaystyle {\vec {a}}=\alpha _{1}{\vec {e_{1}}}+\alpha _{2}{\vec {e_{2}}}+\alpha _{3}{\vec {e_{3}}},}$

${\displaystyle {\vec {b}}=\beta _{1}{\vec {e_{1}}}+\beta _{2}{\vec {e_{2}}},}$

${\displaystyle {\vec {c}}=\gamma _{1}{\vec {e_{1}}}.}$

Тогда

${\displaystyle \left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]=\left(0,0,-\beta _{2}\gamma _{1}\right),}$

${\displaystyle \left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]=\left(-\alpha _{2}\beta _{2}\gamma _{1},\alpha _{1}\beta _{2}\gamma _{1},0\right)}$

и

${\displaystyle {\vec {b}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)-{\vec {c}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)=\alpha _{1}\gamma _{1}{\vec {b}}-\left(\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}\right){\vec {c}}=\left(-\alpha _{2}\beta _{2}\gamma _{1},\alpha _{1}\beta _{2}\gamma _{1},0\right).}$

Таким образом,

${\displaystyle \left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]={\vec {b}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {c}}\right)-{\vec {c}}\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right).}$

Другой вариант доказательства использует разложение векторного произведения по компонентам с помощью тензора Леви-Чивиты ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$ :

${\displaystyle [{\vec {a}},\;{\vec {b}}]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}$

(здесь и ниже по повторяющимся индексам производится суммирование, т.е. ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}=\sum _{j=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k},}$ см. соглашение Эйнштейна о суммировании).

${\displaystyle \left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=\varepsilon _{ijk}a_{j}(\varepsilon _{klm}b_{l}c_{m})=\varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}a_{j}b_{l}c_{m}=(\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl})a_{j}b_{l}c_{m}.}$

Использовано соотношение ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\varepsilon _{klm}=\delta _{il}\delta _{jm}-\delta _{im}\delta _{jl},}$ где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера . Далее,

${\displaystyle \left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=\delta _{il}\delta _{jm}a_{j}b_{l}c_{m}-\delta _{im}\delta _{jl}a_{j}b_{l}c_{m}=\delta _{il}a_{m}b_{l}c_{m}-\delta _{im}a_{l}b_{l}c_{m}=a_{m}b_{i}c_{m}-a_{l}b_{l}c_{i}=b_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-c_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}).}$

Здесь использовано свойство дельты Кронекера, позволяющее заменять индекс, по которому идет суммирование с дельтой: ${\displaystyle \delta _{ij}a_{j}=a_{i}.}$ Таким образом,

${\displaystyle \left[{\vec {a}},\left[{\vec {b}},{\vec {c}}\right]\right]_{i}=b_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {c}})-c_{i}({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}),}$

и, переходя от компонентов ко всему вектору, получаем искомое соотношение.