Пусть ${\displaystyle X}$ — топологическое векторное пространство (например, банахово пространство ). Линейный непрерывный оператор ${\displaystyle T:X\rightarrow X}$ называется гиперциклическим , если существует элемент ${\displaystyle x\in X}$ , такой что множество ${\displaystyle \left\{T^{n}x,n=0,1,2,...\right\}}$ плотно в ${\displaystyle X}$ . Этот элемент ${\displaystyle x}$ называется гиперциклическим вектором для оператора ${\displaystyle T}$ .

Понятие гиперцикличности является частным случаем более широкого понятия топологической транзитивности .

Примеры

Первый пример гиперциклического оператора получил Биркхоф в 1929 году.

В 1969 году Ролевич доказал, что гиперцикличен оператор обратного сдвига в пространстве ${\displaystyle l^{2}}$ , умноженный на константу ${\displaystyle \lambda :|\lambda |>1}$ , переводящий последовательность ${\displaystyle (a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\in l^{2}}$ в последовательность ${\displaystyle (\lambda a_{2},\lambda a_{3},\lambda a_{4},\ldots )\in l^{2}}$ .

В 1988 году Чарльз Рид придумал пример оператора на банаховом пространстве ${\displaystyle l^{1}}$ , такой, что все его ненулевые вектора гиперциклические. Это контрпример к известной проблеме существования инвариантного подпространства для банаховых пространств. Для гильбертовых пространств проблема остается открытой.

Ссылки

• от 30 апреля 2007 на Wayback Machine
• Read, C. J. (1988), "The invariant subspace problem for a class of Banach spaces, 2: hypercyclic operators", Israel Journal of Mathematics , 63 (1): 1—40, doi : , ISSN , MR :