В функциональном анализе замкнутые операторы — это некоторый важный класс неограниченных операторов , гораздо более широкий, чем класс ограниченных , то есть непрерывных, операторов. Замкнутый оператор не обязан быть определён на всём пространстве. Замкнутые операторы обладают достаточным числом хороших свойств для того, чтобы можно было ввести их спектр , построить функциональное исчисление и (в частных случаях) полную спектральную теорию. Важным примером замкнутых операторов являются производная и многие дифференциальные операторы .

Пусть ${\displaystyle A\colon D(A)\subset X\to Y}$ — линейный оператор между банаховыми пространствами , определённый на некотором линейном подпространстве ${\displaystyle D(A)}$ в ${\displaystyle X}$ . Он называется замкнутым , если его график замкнут в ${\displaystyle X\times Y}$ , то есть для любой последовательности ${\displaystyle x_{n}\in D(A)}$ если верно, что ${\displaystyle x_{n}\to x\in X}$ и ${\displaystyle A(x_{n})\to y\in Y}$ , то ${\displaystyle x\in D(A)}$ и ${\displaystyle A(x)=y}$ .

Понятие замкнутого линейного оператора является обобщением понятия линейного непрерывного оператора: каждый линейный непрерывный оператор является замкнутым.

Свойства замкнутого линейного оператора

• Если замкнутый ${\displaystyle A}$ оператор обратим, то ${\displaystyle A^{-1}}$ замкнут. Как следствие, каждый обратимый линейный непрерывный оператор имеет замкнутый обратный оператор.
• Если ${\displaystyle A}$ — замкнутый линейный оператор, определенный всюду в банаховом пространстве ${\displaystyle X}$ с значениями в пространстве ${\displaystyle Y}$ , и существует такая положительная константа ${\displaystyle c}$ , что ${\displaystyle \|Ax\|\leq c\|x\|}$ для любых ${\displaystyle x}$ из всюду плотного множества , то оператор ${\displaystyle A}$ ограничен.
• Теорема Банаха о замкнутом графике . Если замкнутый оператор ${\displaystyle A:X\to Y}$ определён на всём ${\displaystyle X}$ , то он ограничен.
• Если ${\displaystyle A\colon X\to Y}$ — замкнутый оператор, ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}},\mu )}$ — пространство с мерой, и функции ${\displaystyle x\colon E\to X}$ , ${\displaystyle Ax\colon E\to Y}$ , то ${\displaystyle A\int x(t)\mathrm {d} \mu (t)=\int Ax(t)\mathrm {d} \mu }$ (равенство ).

Примеры замкнутых, но неограниченных операторов

В примерах ${\displaystyle C[0,1]}$ и ${\displaystyle C_{0}[0,\infty )}$ — пространства функций, непрерывных и ограниченных соответственно на отрезке ${\displaystyle [0,1]}$ и луче ${\displaystyle [0,\infty )}$

• Оператор дифференцирования ${\displaystyle {\frac {d}{dt}}:C[0,1]\to C[0,1]}$ , с областью определения — ${\displaystyle C^{1}[0,1]}$ , со значениями в ${\displaystyle C[0,1]}$ .

• Оператор умножения на координату ${\displaystyle A:C_{0}[0,\infty )\to C_{0}[0,\infty )}$

${\displaystyle A(x)=tx(t)}$ .

Область определения оператора ${\displaystyle A}$ состоит из функций, удовлетворяющих неравенству ${\displaystyle |x(t)|\leq {\frac {c}{1+t}}}$ , где ${\displaystyle c}$ зависит от ${\displaystyle x(t)}$ .

Примечания

Литература

• Ворович И.И. , Лебедев Л.П. Функциональный анализ и его приложения в механике сплошной среды. — М. : Вузовская книга, 2000 . — 320 с.
• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М. : Наука , 1980 . — 495 с.