Интегра́льный опера́тор Фредго́льма — вполне непрерывный линейный интегральный оператор вида

${\displaystyle (Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,}$

отображающий одно пространство функций в другое. Здесь ${\displaystyle G}$ — область в евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ , ${\displaystyle K(x,t)}$ — функция, заданная на декартовом квадрате ${\displaystyle G\times G}$ , называемая ядром интегрального оператора . Для вполне непрерывности оператора ${\displaystyle A}$ на ядро ${\displaystyle K(x,y)}$ накладываются дополнительные ограничения. Чаще всего рассматривают непрерывные ядра , ${\displaystyle L_{2}}$ -ядра , а также полярные ядра . Интегральный оператор Фредгольма и его свойства используются при решении интегрального уравнения Фредгольма .

Свойства

Линейность

Интегральный оператор Фредгольма является линейным , то есть ${\displaystyle A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag}$ .

Непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным на ${\displaystyle {\bar {G}}\times {\bar {G}}}$ ядром ${\displaystyle K(x,y)}$ , переводит ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ (и, следовательно, ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ и ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$ ) и ограничен (непрерывен), причём

${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$

${\displaystyle \|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G}}),}$

${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),}$

где

${\displaystyle M=\max \limits _{x\in {\bar {G}},\,y\in {\bar {G}}}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.}$ .

Интегральный оператор с ${\displaystyle L_{2}}$ -ядром:

${\displaystyle \int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty }$

переводит ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle L_{2}(G)}$ , непрерывен и удовлетворяет оценке:

${\displaystyle \|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.}$

Существуют условия непрерывности интегральных операторов из ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$ .

Вполне непрерывность

Интегральный оператор с непрерывным ядром ${\displaystyle K(x,y)}$ является вполне непрерывным из ${\displaystyle L_{2}(G)}$ в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ , то есть переводит любое множество , ограниченное в ${\displaystyle L_{2}(G)}$ , в множество, предкомпактное в ${\displaystyle C({\bar {G}})}$ . Вполне непрерывные операторы замечательны тем, что для них справедлива альтернатива Фредгольма . Интегральный оператор с непрерывным ядром является пределом последовательности конечномерных операторов с вырожденными ядрами. Аналогичные утверждения справедливы для интегрального оператора с ${\displaystyle L_{2}}$ -ядром.

Существуют также более слабые достаточные условия вполне непрерывности (компактности) интегрального оператора из ${\displaystyle L_{p}}$ в ${\displaystyle L_{q}}$ .

Сопряжённый оператор

Сопряжённый оператор к оператору ${\displaystyle A}$ с ${\displaystyle L_{2}}$ -ядром в гильбертовом пространстве ${\displaystyle L_{2}(G)}$ имеет вид

${\displaystyle (A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)}}f(y)\,dy.}$

Если ${\displaystyle K(x,y)={\overline {K(y,x)}}}$ , то интегральный оператор Фредгольма ${\displaystyle A}$ является самосопряжённым

Обратный оператор

При достаточно малых значениях ${\displaystyle |\lambda |}$ оператор ${\displaystyle I-\lambda A}$ (где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор ) имеет обратный вида ${\displaystyle I+\lambda R}$ , где ${\displaystyle R}$ — интегральный оператор Фредгольма с ядром ${\displaystyle R(x,y,\lambda )}$ — резольвентой ядра ${\displaystyle K(x,y)}$ .

См. также

• Интегральное уравнение Фредгольма
• Ядро интегрального уравнения
• Теория Фредгольма
• Альтернатива Фредгольма
• Компактный оператор

Примечания

Литература

• Хведелидзе Б. В. . Интегральный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия, 1979. — Т. 2: Д — Коо. — 1104 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Владимиров В. С. . Уравнения математической физики. 4-е изд. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры, 1981. — 512 с.
• Трикоми Ф. . Интегральные уравнения. Пер. с англ.. — М. : Изд-во иностр. лит-ры, 1960.
• Манжиров А. В., Полянин А. Д. . Справочник по интегральным уравнениям: Методы решения. — М. : Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1 .
• Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. . Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит-ры. — М. , 1976.