Нормальный оператор — линейный ограниченный оператор в гильбертовом пространстве , перестановочный со своим сопряжённым : ${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}}$ . Частными случаями нормальных операторов являются самосопряжённые операторы : ${\displaystyle A=A^{*}}$ и унитарные операторы : ${\displaystyle U^{-1}=U^{*}}$ . Для нормальных операторов выполняется спектральная теорема .

Разложения

• Аддитивное разложение. ${\displaystyle N=X+iY}$ , где ${\displaystyle X,Y}$ — перестановочные самосопряжённые операторы ,

${\displaystyle X={\frac {1}{2}}(N+N^{*}),\quad Y={\frac {1}{2i}}(N-N^{*}).}$

• Мультипликативное (полярное) разложение . ${\displaystyle N=RU=UR}$ , где ${\displaystyle R={\sqrt {N^{*}N}}}$ — положительный самосопряжённый оператор , ${\displaystyle U}$ — унитарный оператор . Операторы ${\displaystyle R}$ и ${\displaystyle U}$ перестановочны как между собой, так и с любым линейным оператором , перестановочным одновременно с ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N^{*}}$ .

Аддитивное разложение аналогично выражению комплексного числа ${\displaystyle z}$ через его действительную и мнимую части: ${\displaystyle z=x+iy}$ , а мультипликативное разложение — представлению в показательной форме: ${\displaystyle z=re^{i\varphi }.}$

Свойства

• Если оператор ${\displaystyle N}$ нормален, то операторы ${\displaystyle N^{*}}$ , ${\displaystyle \alpha N+\beta I,\,\alpha ,\beta \in \mathbb {C} }$ , а также обратный оператор ${\displaystyle N^{-1}}$ (если он существует), тоже нормальны.
• Линейный непрерывный оператор ${\displaystyle N}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ нормален тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|}$ для каждого ${\displaystyle x\in H}$ .
• ${\displaystyle {\mbox{Ker}}\,N={\mbox{Ker}}\,N^{*}={\mbox{Im}}\,N^{\perp }}$ . Здесь ${\displaystyle {\mbox{Ker}}\,N}$ — ядро , ${\displaystyle {\mbox{Im}}\,N}$ — образ оператора ${\displaystyle N}$ .
• Если ${\displaystyle Nx=\alpha x}$ при некотором ${\displaystyle x\in H}$ и ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$ , то ${\displaystyle N^{*}x={\bar {\alpha }}x}$ .
• Собственные подпространства , соответствующие различным собственным значениям нормального оператора, ортогональны .
• Теорема о перестановочности. Пусть ${\displaystyle M,N,T}$ — линейные непрерывные операторы , причем операторы ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ нормальны. Если ${\displaystyle MT=TN}$ , то ${\displaystyle M^{*}T=TN^{*}}$ . В частности, если оператор ${\displaystyle T}$ перестановочен с нормальным оператором ${\displaystyle N}$ , то он перестановочен и с сопряжённым ${\displaystyle N^{*}}$ .
• ${\displaystyle \|N\|=\sup\{|(Nx,x)|\colon x\in H,\,\|x\|\leq 1\}}$
• Нормальный оператор является самосопряжённым тогда и только тогда, когда его спектр лежит на вещественной оси . Нормальный оператор является унитарным тогда и только тогда, когда его спектр лежит на единичной окружности .
• Подобные нормальные операторы унитарно эквивалентны, то есть если ${\displaystyle M=TNT^{-1}}$ , где ${\displaystyle M,N}$ — нормальные операторы, а оператор ${\displaystyle T}$ обратим , то ${\displaystyle M=UNU^{-1}}$ , где ${\displaystyle U}$ — унитарный оператор .
• ${\displaystyle \|N^{m}\|=\|N\|^{m}}$ , следовательно, спектральный радиус нормального оператора совпадает с его нормой .

Спектральная теорема

Любому нормальному оператору ${\displaystyle N}$ соответствует семейство проекционных операторов ${\displaystyle \{E(\delta )\}}$ , являющихся аддитивной и мультипликативной функцией прямоугольника, таким образом, что ${\displaystyle N=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }zE(dxdy),\quad N^{*}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\bar {z}}E(dxdy),}$ и вообще ${\displaystyle q(N,N^{*})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }q(z,{\bar {z}})E(dxdy),}$ где ${\displaystyle q(z,{\bar {z}})}$ — произвольный многочлен от ${\displaystyle z=x+iy}$ и ${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy}$ ; при любом фиксированном прямоугольнике ${\displaystyle \delta }$ оператор ${\displaystyle E(\delta )}$ является пределом некоторой последовательности многочленов от операторов ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N^{*}}$ .

На основе спектрального разложения нормальных операторов строится функциональное исчисление для функций

${\displaystyle f(N)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(z)E(dxdy).}$

Случай конечномерного пространства

В конечномерном унитарном пространстве в ортонормированном базисе нормальному оператору отвечает нормальная матрица . Нормальный оператор также обладает следующими свойствами.

• Линейный оператор тогда и только тогда является нормальным, когда он имеет ортонормированную систему собственных векторов .
• Для нормального оператора ${\displaystyle N}$ каждый из операторов ${\displaystyle N}$ и ${\displaystyle N^{*}}$ представим в виде многочлена от другого из операторов; при этом эти два многочлена определяются заданием собственных значений оператора ${\displaystyle N}$ .
• Если ${\displaystyle S}$ — инвариантное подпространство относительно оператора ${\displaystyle N}$ , то его ортогональное дополнение ${\displaystyle S^{\perp }}$ тоже является инвариантным подпространством для ${\displaystyle N}$ .
• Матрица ${\displaystyle N}$ является нормальной тогда и только тогда, когда она унитарно-подобна диагональной матрице , то есть ${\displaystyle N=UDU^{-1},}$ где ${\displaystyle U}$ — унитарная матрица , ${\displaystyle D}$ — диагональная матрица .

Неограниченные операторы

Понятие нормального оператора обобщается на неограниченные операторы. Линейный оператор ${\displaystyle N}$ (не обязательно ограниченный ) в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ называется нормальным, если его область определения ${\displaystyle D(N)}$ плотна в ${\displaystyle H}$ , он замкнут и удовлетворяет условию ${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}}$ . Для нормального оператора ${\displaystyle D(N^{*})=D(N)}$ , ${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|}$ для любого ${\displaystyle x\in D(N)}$ . Обобщаются и некоторые другие свойства нормального оператора, в том числе спектральная теорема .

См. также

• Самосопряжённый оператор
• Унитарный оператор
• Спектральная теорема

Примечания

Литература

• Соболев В. И. Нормальный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Рисс Ф. , Сёкефильви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М. : Мир, 1979. — 592 с.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1975.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.