В математике , и, в частности, в функциональном анализе , оператор сдвига , также известный как оператор трансляции , — это оператор, который переводит функцию x ↦ f(x) в её трансляцию x ↦ f(x + a) . В анализе временных рядов оператор сдвига называется лаговым оператором .

Операторы сдвига являются примерами линейных операторов , важных своей простотой и естественной распространённостью. Действие оператора сдвига на функции вещественного переменного играет важную роль в гармоническом анализе , например, он встречается в определениях почти периодических функций , положительно-определённых функций , производных и свёртки . Сдвиги последовательностей (функций целого переменного) появляются в различных областях, таких как пространства Харди , теория абелевых многообразий и теория символической динамики , для которых отображение пекаря является явным представлением.

Определение

Функции вещественной переменной

Оператор сдвига T ^t (где t ∈ R ) переводит функцию f на R в её трансляцию f _t ,

${\displaystyle T^{t}f(x)=f_{t}(x)=f(x+t)~.}$

В операционном исчислении , практическое представление линейного оператора T ^t в терминах простой производной d / dx было введено Лагранжем ,

${\displaystyle T^{t}=e^{t{\frac {d}{dx}}}~,}$

что может быть интерпретировано операционально через формальное разложение Тейлора по t ; по биному Ньютона очевидно действие оператора на одночлен x ⁿ , и, следовательно, на все ряды по x , а значит, и на все функции f ( x ) , как указано выше . Таким образом, формально это кодировка разложения Тейлора в исчислении Хевисайда.

Таким образом, оператор является прототипом адвективного потока Ли для абелевых групп,

${\displaystyle e^{t\beta (x){\frac {d}{dx}}}f(x)=e^{t{\frac {d}{dh}}}F(h)=F(h+t)=f\left(h^{-1}(h(x)+t)\right),}$

где канонические координаты h ( функции Абеля ) определены так, что

${\displaystyle h'(x)\equiv {\frac {1}{\beta (x)}}~,\qquad f(x)\equiv F(h(x)).}$

Например, из этого легко следует, что ${\displaystyle \beta (x)=x}$ даёт масштабирование,

${\displaystyle e^{tx{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(e^{t}x),}$

следовательно ${\displaystyle e^{i\pi x{\frac {d}{dx}}}f(x)=f(-x)}$ (чётность); аналогично, ${\displaystyle \beta (x)=x^{2}}$ даёт

${\displaystyle e^{tx^{2}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\frac {x}{1-tx}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=1/x}$ даёт

${\displaystyle e^{{\frac {t}{x}}{\frac {d}{dx}}}f(x)=f\left({\sqrt {x^{2}+2t}}\right),}$

${\displaystyle \beta (x)=e^{x}}$ даёт

${\displaystyle \exp \left(te^{x}{\frac {d}{dx}}\right)f(x)=f\left(\ln \left({\frac {1}{e^{-x}-t}}\right)\right),}$

и т.д.

Начальное условие потока и свойство группы полностью определяют весь поток Ли, предоставляя решение функционального уравнения трансляции

${\displaystyle f_{t}(f_{\tau }(x))=f_{t+\tau }(x).}$

Последовательности

Оператор левого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

${\displaystyle S^{*}:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (a_{2},a_{3},a_{4},\ldots )}$

и на двухсторонние бесконечные последовательности чисел:

${\displaystyle T:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k+1})_{k=-\infty }^{\infty }.}$

Оператор правого сдвига действует на одностороннюю бесконечную последовательность чисел через

${\displaystyle S:(a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )\mapsto (0,a_{1},a_{2},\ldots )}$

и на двусторонние бесконечные последовательности:

${\displaystyle T^{-1}:(a_{k})_{k=-\infty }^{\infty }\mapsto (a_{k-1})_{k=-\infty }^{\infty }.}$

Операторы сдвига вправо и влево, действующие на двусторонние бесконечные последовательности, называются двусторонними сдвигами.

Абелевы группы

В целом, как было показано выше, если F есть функция абелевой группы G , а h есть элемент из G , то оператор сдвига T ^g отображает F в

${\displaystyle F_{g}(h)=F(h+g).}$

Свойства оператора сдвига

Оператор сдвига, действующий на вещественные или комплекснозначные функции или последовательности, является линейным оператором, сохраняющим большинство стандартных норм , которые встречаются в функциональном анализе. Поэтому он обычно является непрерывным оператором с 1-нормой.

Действие на гильбертовых пространствах

Оператор сдвига, действующий на двусторонние последовательности, является унитарным оператором на ℓ ₂ ( Z ) . Оператор сдвига, действующий на функции вещественного переменного, является унитарным оператором на L ₂ ( R ) .

В обоих случаях (левый) оператор сдвига удовлетворяет следующему коммутативному соотношению с преобразованием Фурье:

где M ^t — на exp( itx ) . Поэтому спектр T ^t — единичный круг.

Односторонний сдвиг S, действующий на ℓ ₂ ( N ) , является собственной изометрией с областью значений функции , равной всем векторам , которые исчезают в первой координате . Оператор S является сжатием T ^-1 , в том смысле, что

где y — вектор в ℓ ₂ ( Z ) с y _i = x _i для i ≥ 0 и y _i = 0 для i < 0 . Это наблюдение лежит в основе построения многих изометрий.

Спектр S — это единичный диск. Сдвиг S является одним из примеров оператора Фредгольма ; он имеет индекс Фредгольма -1.

Обобщение

Жан Дельсарт ввёл понятие обобщённого оператора сдвига (также называемого обобщённым оператором смещения ); в дальнейшем оно было развито Борисом Левитаном .

Семейство операторов { L ^x } _{x ∈ X} , действующих на пространстве Φ функций из множества X в C , называется семейством обобщённых операторов сдвига, если выполняются следующие свойства:

1. Ассоциативность: пусть ( R ^y f )( x ) = ( L ^x f )( y ) . Тогда L ^x R ^y = R ^y L ^x .
2. Существует e в X такое, что L ^e — оператор тождества.

В этом случае множество X называется гипергруппой .

См. также

• Арифметический (знаковый) сдвиг
• Логический (беззнаковый) сдвиг
• Конечные разности
• Оператор импульса

Примечания

Литература

• Partington, Jonathan R. Linear Operators and Linear Systems. — Cambridge University Press, March 15, 2004. — ISBN 978-0-521-83734-7 . — doi : .
• Marvin Rosenblum and James Rovnyak, Hardy Classes and Operator Theory , (1985) Oxford University Press.