Перестановочные операторы — ограниченный линейный оператор ${\displaystyle B}$ и линейный оператор ${\displaystyle T}$ , для которых оператор ${\displaystyle TB}$ является расширением оператора ${\displaystyle BT}$ : ${\displaystyle BT\subseteq TB}$ . Если операторы ${\displaystyle B}$ и ${\displaystyle T}$ определены на всем пространстве (причем не обязательно ограничены ), то они перестановочны, если ${\displaystyle BT=TB}$ . В этом случае перестановочные операторы также называют коммутирующими . В общем случае равенство ${\displaystyle BT=TB}$ неудобно использовать в качестве определения перестановочности, потому что тогда даже обратный оператор ${\displaystyle B^{-1}}$ не будет перестановочен с ${\displaystyle B}$ , если ${\displaystyle B^{-1}}$ определён не на всём пространстве — тогда операторы ${\displaystyle BB^{-1}}$ и ${\displaystyle B^{-1}B}$ будут иметь разные области определения . Иногда для перестановочных операторов используют обозначения: ${\displaystyle B\cup T}$ или ${\displaystyle B\smile T}$ .

Свойства

• Если оператор ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T_{1}}$ и перестановочен с ${\displaystyle T_{2}}$ , то ${\displaystyle B}$ также перестановочен с ${\displaystyle T_{1}+T_{2}}$ и ${\displaystyle T_{1}T_{2}}$ .
• Если ${\displaystyle B_{1}}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle B_{2}}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ , то операторы ${\displaystyle B_{1}+B_{2}}$ и ${\displaystyle B_{1}B_{2}}$ перестановочны с ${\displaystyle T}$ .
• Если ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ и существует ${\displaystyle T^{-1}}$ , то ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T^{-1}}$ .
• Если ${\displaystyle B}$ перестановочен с каждым из операторов ${\displaystyle T_{n}\,(n=1,2,\dots )}$ , то ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }T_{n}}$ .
• Если каждый из операторов ${\displaystyle B_{n}\,(n=1,2,\dots )}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ , то ${\displaystyle \lim \limits _{n\to \infty }B_{n}}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ в предположении, что ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }B_{n}}$ ограничен , а ${\displaystyle T}$ замкнут .
• Если ${\displaystyle B}$ перестановочен с ${\displaystyle T}$ и сопряжённый оператор ${\displaystyle T^{*}}$ существует, то ${\displaystyle B^{*}}$ перестановочен с ${\displaystyle T^{*}}$ .

Случай конечномерного пространства

В конечномерном пространстве перестановочным операторам отвечают перестановочные матрицы : ${\displaystyle AB=BA}$ . Задача Фробениуса состоит в том, чтобы определить все матрицы ${\displaystyle X}$ , перестановочные с данной матрицей ${\displaystyle A}$ . Все решения задачи Фробениуса имеют вид

${\displaystyle X=UX_{A}U^{-1},}$

где ${\displaystyle X_{A}}$ — произвольная матрица, перестановочная с ${\displaystyle A}$ , ${\displaystyle U}$ — матрица, приводящая ${\displaystyle A}$ к нормальной жордановой форме ${\displaystyle J}$ : ${\displaystyle A=UJU^{-1}}$ . Число линейно независимых решений задачи Фробениуса определяется формулой:

${\displaystyle N=n_{1}+3n_{2}+\dots +(2t-1)n_{t},}$

где ${\displaystyle n_{1},n_{2},\dots ,n_{t}}$ — степени непостоянных инвариантных многочленов ${\displaystyle i_{1}(\lambda ),i_{2}(\lambda ),\dots ,i_{t}(\lambda )}$ матрицы ${\displaystyle A}$ .

Если линейные операторы ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{m}}$ в конечномерном пространстве ${\displaystyle R}$ попарно перестановочны, то можно расщепить все пространство ${\displaystyle R}$ на инвариантные относительно всех операторов ${\displaystyle A_{i}}$ подпространства:

${\displaystyle R=I_{1}+I_{2}+\dots +I_{m}}$

так, чтобы минимальный многочлен любого из этих подпространств относительно любого из операторов ${\displaystyle A_{i}}$ был степенью неприводимого многочлена .

Перестановочные операторы всегда имеют общий собственный вектор . Если дано конечное или бесконечное множество попарно перестановочных нормальных операторов ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }$ в унитарном пространстве , то все эти операторы имеют полную ортонормированную систему общих собственных векторов . В терминах матриц это означает, что любое конечное или бесконечное множество попарно перестановочных матриц приводится к диагональному виду одним и тем же унитарным преобразованием .

См. также

• Полная система коммутирующих наблюдаемых

Примечания

Литература

• Войцеховский М. И. Перестановочные операторы // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия, 1984. — Т. 4: Ок — Сло. — 1216 стб. : ил. — 150 000 экз.
• Рисс Ф. , Сёкефильви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М. : Мир, 1979. — 592 с.
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — Изд. 2-е, доп.. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1966.
• Супруненко Д. А. , Тышкевич Р. И. Перестановочные матрицы. — Минск: Наука и техника, 1966. — 2500 экз.