Положительный оператор в гильбертовом пространстве — линейный оператор ${\displaystyle A}$ такой, что ${\displaystyle (Ax,x)\geq 0}$ для любого ${\displaystyle x}$ из гильбертова пространства. Для положительного оператора используют обозначение ${\displaystyle A\geq 0}$ . Иногда нулевой оператор не относят к положительным операторам и пишут ${\displaystyle A>0}$ , если оператор ${\displaystyle A}$ — положительный, и ${\displaystyle A\geq 0}$ , если ${\displaystyle A}$ — положительный или нулевой .

Ограниченный положительный оператор является самосопряжённым , и его спектр лежит на положительной полуоси ${\displaystyle [0,\infty )}$ , причём это необходимое и достаточное условие . Неограниченный положительный оператор симметричен и допускает самосопряжённое расширение, также являющееся положительным оператором .

Свойства

Для ограниченных линейных операторов выполняются следующие свойства.

• Если оператор ${\displaystyle A\geq 0}$ и вещественное число ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ , то ${\displaystyle \alpha A\geq 0}$ .
• Если ${\displaystyle A\geq 0}$ и обратный оператор ${\displaystyle A^{-1}}$ существует, то ${\displaystyle A^{-1}\geq 0}$ .
• ${\displaystyle A^{*}A\geq 0,\,AA^{*}\geq 0}$ для любого линейного оператора ${\displaystyle A}$ . В частности, ${\displaystyle A^{2}\geq 0}$ для любого самосопряжённого оператора ${\displaystyle A}$ . Следовательно, примером положительного оператора может служить любой оператор проектирования .
• Произведение двух перестановочных положительных операторов также положительный оператор .
• Для положительного оператора ${\displaystyle A}$ и любых элементов ${\displaystyle x,y}$ гильбертова пространства выполняется обобщённое неравенство Шварца :

${\displaystyle |(Ax,y)|^{2}\leq (Ax,x)(Ay,y)}$ .

Квадратный корень

У каждого ограниченного положительного оператора ${\displaystyle A}$ существует единственный положительный квадратный корень , то есть такой оператор ${\displaystyle B}$ , что ${\displaystyle B^{2}=A}$ . Если оператор ${\displaystyle A}$ обратим , то ${\displaystyle B}$ тоже обратим. Квадратный корень ${\displaystyle B}$ перестановочен с любым оператором, перестановочным с ${\displaystyle A}$ .

Полярное разложение

Любой ограниченный линейный оператор ${\displaystyle T}$ в гильбертовом пространстве обладает разложением ${\displaystyle T=UP}$ , где ${\displaystyle P}$ — положительный оператор, ${\displaystyle U}$ — частичная изометрия. Если ${\displaystyle T}$ — нормальный оператор , то оператор ${\displaystyle U}$ в полярном разложении унитарный .

Отношение порядка

На множестве симметричных операторов вводится частичное отношение порядка : ${\displaystyle A\geq B}$ или ${\displaystyle B\leq A}$ , если оператор ${\displaystyle A-B}$ — положительный, иначе говоря, ${\displaystyle (Ax,x)\geq (Bx,x)}$ для любого ${\displaystyle x}$ из гильбертова пространства . Данное отношение порядка обладает следующими свойствами.

• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle C\geq D}$ , то ${\displaystyle A+C\geq B+D}$ .
• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle B\geq C}$ , то ${\displaystyle A\geq C}$ .
• Если ${\displaystyle A\geq B}$ и ${\displaystyle c>0}$ , то ${\displaystyle cA\geq cB}$ .
• Любая монотонная ограниченная последовательность симметричных операторов сходится к некоторому симметричному оператору .

Полуограниченный оператор

Симметричный оператор ${\displaystyle S}$ называется полуограниченным снизу , если существует действительное число ${\displaystyle c}$ такое, что

${\displaystyle (Sx,x)\geq c(x,x)}$

для любого ${\displaystyle x}$ из области определения оператора ${\displaystyle S}$ ; наибольшее из всех значений ${\displaystyle c}$ , для которых выполняется это неравенство, называется нижней гранью оператора ${\displaystyle S}$ . Аналогично определяется оператор, полуограниченный сверху , и его верхняя грань .

Положительный оператор является частным случаем полуограниченного снизу оператора. С другой стороны, любой полуограниченный оператор может быть выражен через положительный оператор ${\displaystyle P}$ посредством одной из следующих формул:

${\displaystyle S=P+cI,\quad S=-P+cI,}$

где ${\displaystyle I}$ — единичный оператор .

Расширение по Фридрихсу. Всякий полуограниченный симметричный оператор ${\displaystyle S}$ (в частности, положительный оператор) может быть расширен до некоторого полуограниченного самосопряжённого оператора ${\displaystyle A}$ , причём оператор ${\displaystyle A}$ будет иметь ту же (верхнюю или нижнюю) грань, что и ${\displaystyle S}$ .

Случай конечномерного пространства

Симметрический оператор ${\displaystyle S}$ (оператор с симметричной матрицей ) в евклидовом пространстве ${\displaystyle R}$ называется неотрицательным , если ${\displaystyle (Sx,x)\geq 0}$ для любого ${\displaystyle x\in R}$ . В этом случае квадратичная форма ${\displaystyle (Sx,x)}$ называется неотрицательной , а матрица оператора ${\displaystyle S}$ — неотрицательно определённой .

Симметрический оператор ${\displaystyle S}$ называется положительно определённым , если для любого вектора ${\displaystyle x\neq 0}$ из ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (Sx,x)>0}$ . В этом случае квадратичная форма ${\displaystyle (Sx,x)}$ и матрица оператора ${\displaystyle S}$ называются положительно определёнными .

Определить, является ли матрица положительно или неотрицательно определённой, можно при помощи критерия Сильвестра .

Пример

Примером полуограниченного снизу оператора может служить оператор Штурма-Лиувилля

${\displaystyle Au(x)=-(p(x)u'(x))'+q(x)u(x),}$

где

${\displaystyle p(x)\geq 0,\quad q(x)\geq q_{0},\quad (0\leq x\leq 1),}$

если его рассматривать в пространстве ${\displaystyle L_{2}(0,1)}$ , отнеся к области определения функции ${\displaystyle u(x)}$ , дважды непрерывно дифференцируемые и удовлетворяющие условиям

${\displaystyle u(0)=0,\quad u'(1)+hu(1)=0,}$

где ${\displaystyle h\geq 0}$ — некоторая постоянная ; функции ${\displaystyle p(x),p'(x),q(x)}$ также предполагаются непрерывными . Действительно, можно проверить прямым подсчётом, что

${\displaystyle (Au,u)=hp(1)|u(1)|^{2}+\int \limits _{0}^{1}p(x)|u'(x)|^{2}dx+\int \limits _{0}^{1}q(x)|u(x)|^{2}dx\geq \int \limits _{0}^{1}q_{0}|u(x)|^{2}dx=q_{0}(u,u).}$ .

Если ${\displaystyle q_{0}\geq 0}$ , то оператор положительный .

См. также

• Эрмитов оператор
• Квадратичная форма

Примечания

Литература

• Люстерник Л. А. , Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М. : Наука, 1965. — 520 с.
• Рудин У. Функциональный анализ. — М. : Мир, 1975. — 444 с.
• Рисс Ф. , Сёкефальви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. — М. : Мир, 1979. — 592 с.
• Ахиезер Н. И. , Глазман И. М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. — Изд. 2-е, перераб. и доп.. — Наука, гл. ред. физ-мат. лит., 1966. — 543 с.