Полугруппа операторов — однопараметрическое семейство линейных ограниченных операторов в банаховом пространстве . Теория полугрупп операторов возникла в середине XX века в работах таких известных математиков, как ( англ. ), ( англ. ), Иосиды , Феллера . Основные применения этой теории: абстрактные задачи Коши, параболические уравнения , случайные процессы .

Определение

Пусть ${\displaystyle X}$ — банахово пространство . Полугруппой операторов ${\displaystyle \{T_{t}\}_{t\geqslant 0}}$ в пространстве ${\displaystyle X}$ называется семейство ограниченных операторов ${\displaystyle T_{t}:X\to X}$ , ${\displaystyle t\geqslant 0}$ , удовлетворяющее следующим свойствам:

1. ${\displaystyle T_{t}T_{s}=T_{t+s}}$ , где умножение операторов есть композиция этих отображений.
2. ${\displaystyle T_{0}=I}$ , где ${\displaystyle I}$ есть единичный оператор в пространстве ${\displaystyle X}$ .

Из определения полугруппы следует, что для любой полугруппы существуют такие константы ${\displaystyle M>0,\alpha \in R}$ , что:

${\displaystyle \|T_{t}\|\leqslant Me^{\alpha t}.}$

Генератор полугруппы

Центральным понятием в теории полугрупп операторов является понятие генератора полугруппы. Генератором полугруппы или инфинитезимальным производящим оператором полугруппы ${\displaystyle T_{t}}$ называется оператор

${\displaystyle A:X\supset D(A)\to X}$

${\displaystyle A\varphi =\lim \limits _{t\to 0}{\frac {T_{t}\varphi -\varphi }{t}},\ \varphi \in D(A),}$

где область определения ${\displaystyle D(A)}$ определяется как множество таких элементов, что данный предел существует. Генератор полугруппы есть линейный, вообще говоря, неограниченный оператор. Если полугруппа сильнонепрерывна, то область определения генератора является плотной в ${\displaystyle X}$ , а сам генератор есть замкнутый оператор. С другой стороны не каждый замкнутый, плотно определенный оператор является генератором полугруппы. Генератор однозначно определяется по полугруппе; генератор однозначно определяет полугруппу, если она сильнонепрерывна.

Виды полугрупп

В зависимости от гладкости по параметру рассматриваются различные виды полугрупп.

Полугруппа ${\displaystyle T_{t}}$ называется равномернонепрерывной, если выполнено следующее условие:

${\displaystyle \lim \limits _{t\to s}\|T_{t}-T_{s}\|=0}$ ,

где предел понимается в смысле операторной топологии .

Полугруппа ${\displaystyle T_{t}}$ называется ${\displaystyle C_{0}}$ -полугруппой или сильно непрерывной полугруппой, если выполнено условие:

${\displaystyle \lim \limits _{t\to s}\|T_{t}\varphi -T_{s}\varphi \|_{X}=0}$ ,

для любого фиксированного элемента ${\displaystyle \varphi \in X}$ .

Большую роль в приложениях играют сжимающие полугруппы. Сильно непрерывная полугруппа называется сжимающей если выполнено следующее условие:

${\displaystyle \|T_{t}\|\leqslant 1}$ .

Сильно непрерывная полугруппа ${\displaystyle T_{t}}$ называется аналитической полугруппой, если она может быть аналитически продолжена в некоторый сектор

${\displaystyle \Delta _{\delta }=\{\lambda \in C:|arg\lambda |<\delta ,Re\lambda >0\},\quad 0<\delta \leqslant \pi /2}$ ,

таким образом, что ${\displaystyle T_{\lambda }}$ непрерывна в ${\displaystyle {\overline {\Delta }}_{\delta }}$ .

Критерии для генераторов полугрупп

Линейный оператор ${\displaystyle A}$ в пространстве ${\displaystyle X}$ порождает равномерно непрерывную полугруппу тогда и только тогда, когда ${\displaystyle A}$ является ограниченным оператором. Отсюда следует, что в конечномерных пространствах все полугруппы являются равномерно непрерывными.

Критерием для генератора сильно непрерывной полугруппы является следующая теорема: линейный оператор ${\displaystyle A}$ является генератором сильно непрерывной полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Оператор ${\displaystyle A}$ замкнутый.
2. Область определения ${\displaystyle D(A)}$ плотно в ${\displaystyle X}$ .
3. Существует такое ${\displaystyle \lambda _{0}}$ , что все числа ${\displaystyle \lambda \geqslant \lambda _{0}}$ являются резольвентными для оператора ${\displaystyle A}$ .
4. Существует такая константа ${\displaystyle c_{1}>0}$ , что для всех ${\displaystyle \lambda >\lambda _{0}}$ выполнено неравенство

${\displaystyle \|(\lambda I-A)^{-k}\|\leqslant {\frac {c_{1}}{(\lambda -\lambda _{0})^{k}}},\quad k=1,2,\dots }$

Если вместо условия 4) выполнено условие

${\displaystyle \|\lambda I-A\|\leqslant {\frac {1}{\lambda -\lambda _{0}}},}$

то оператор ${\displaystyle A}$ также будет генератором сильно непрерывной полугруппой. Случай ${\displaystyle \lambda _{0}=0}$ известен как : линейный оператор ${\displaystyle A}$ является генератором сжимающей полугруппы тогда и только тогда, когда выполнены следующие условия:

1. Оператор ${\displaystyle A}$ замкнутый.
2. Область определения ${\displaystyle D(A)}$ плотно в ${\displaystyle X}$ .
3. Все числа ${\displaystyle \lambda \geqslant 0}$ являются резольвентными для оператора ${\displaystyle A}$ .
4. Для всех ${\displaystyle \lambda >0}$ выполнено неравенство:

   ${\displaystyle \|\lambda I-A\|\leqslant {\frac {1}{\lambda }},}$

Для того, чтобы генератор сильно непрерывной полугруппы ${\displaystyle A}$ был генератором аналитической полугруппы необходимо потребовать значительно больших условий на спектр оператора ${\displaystyle A}$ .

Оператор ${\displaystyle A}$ является генератором аналитической полугруппы тогда и только тогда, когда существуют числа ${\displaystyle \pi /2<\omega \leqslant \pi }$ и ${\displaystyle q\geqslant 0}$ , что множество ${\displaystyle \Omega _{q,\omega }=\{\lambda \in C:Re\lambda >\omega ,|\lambda |>q\}}$ свободно от спектра оператора ${\displaystyle A}$ и выполнено неравенство

${\displaystyle \|(\lambda I-A)^{-1}\|\leqslant {\frac {c_{2}}{|\lambda |}},\quad \lambda \in \Omega _{q,\omega },}$

где константа ${\displaystyle c_{2}>0}$ не зависит от ${\displaystyle \lambda }$ .

Ещё один эквивалентный критерий для генератора аналитической полугруппы — генератор сильно непрерывной полугруппы является генератором аналитической полугруппы, если

${\displaystyle \|tAT_{t}\varphi \|_{X}\leqslant C,\quad \varphi \in X,\ t>0,}$

где ${\displaystyle C>0}$ — константа, независящая от ${\displaystyle t}$ .

Примечания

Литература

• Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. New York-Berlin-Heidelberg, Springer, 1983.
• Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. — М.: Наука, 1967.
• Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962.
• Като Т. Теория возмущений линейных операторов. — М.: Мир, 1972.
• Engel K.-J., Nagel R. One-Parameter Semigroups for Linear Evolution Equations. Springer-Verlag, N.Y., 2000.