Interested Article - Теорема Банаха об обратном операторе

0
0

2021-09-11
1

Теорема Банаха об обратном операторе — один из трёх основных принципов «банаховой» теории линейных операторов (два других — теорема Хана — Банаха и принцип равномерной ограниченности ).

Формулировка

Если ограниченный линейный оператор $A$ отображает всё банахово пространство $E$ на всё банахово пространство $E_{1}$ взаимно однозначно , то существует линейный ограниченный оператор $A^{-1}$ , обратный оператору $A$ , отображающий $E_{1}$ на $E$ .

Следствия

Теорема об открытом отображении

Линейное непрерывное отображение $A$ банахова пространства $E$ на всё банахово пространство $E_{1}$ открыто .

Лемма о тройке

Пусть $E,E_{1},E_{2}$ — банаховы пространства и $A\colon E\to E_{1}$ , $B\colon E\to E_{2}$ — линейные непрерывные операторы , причем $B$ отображает $E$ на всё $E_{2}$ (то есть ${\mbox{Im}}\,B=E_{2}$ ). Если при этом

{\mbox{Ker}}\,A\supset {\mbox{Ker}}\,B,

то существует такой линейный непрерывный оператор $C\colon E_{2}\to E_{1}$ , что $A=CB$ .

Здесь ${\mbox{Ker}}\,A$ — ядро , ${\mbox{Im}}\,A$ — образ оператора $A$ . Символически утверждение леммы о тройке удобно изобразить такой схемой:

{\begin{array}{ccccc}{\mbox{Ker}}\,B&\to &E&{\xrightarrow {B}}&E_{2}\\\bigcap &&||&&\downarrow C\\{\mbox{Ker}}\,A&\to &E&{\xrightarrow {A}}&E_{1}\end{array}}

Примечания

Хелемский А. Я. Линейный оператор // Математическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. И. М. Виноградов . — М. : Советская энциклопедия, 1982. — Т. 3: Коо — Од. — 1184 стб. : ил. — 150 000 экз.
, с. 159.
, с. 227.
, с. 228.

Литература

Колмогоров А. Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит.. — М. , 1976.
Люстерник Л. А. , Соболев В. И. Элементы функционального анализа. — Изд. 2-е, перераб.. — М. : Наука, 1965. — 520 с.
Вайнберг М. М. Функциональный анализ. — М.: Просвещение, 1979. — 128 с.

Источник —

0
0

2021-09-11
1

Tags:

Same as Теорема Банаха об обратном операторе

Теорема Банаха — Мазура

Оборона на обратном скате

Лауреаты премии Стефана Банаха

Награждённые медалью Стефана Банаха

Теорема Вольстенхольма

Теорема Стокса

Теорема Грина

Теорема Вейерштрасса о функции на компакте

Теорема

Основная теорема арифметики

Теорема Зейферта — ван Кампена

Теорема Байеса

Теорема о четырёх красках

Малая теорема Ферма

Теорема о проекциях

Теорема Чевы

Теорема Зеро

Теорема Гливенко — Кантелли

Теорема Бёма — Якопини

Теорема Пифагора

Поиск предназначения, или Двадцать седьмая теорема этики

Теорема о распределении простых чисел

Центральная предельная теорема

Теорема Пуассона

Локальная теорема Муавра — Лапласа

Теорема Гёделя

Теорема Лагранжа (теория групп)

Теорема Кэли (теория групп)

Теорема Пэли — Винера

Великая теорема Ферма

Теорема Паули

Теорема Эренфеста

Теорема Фалеса о пропорциональных отрезках

Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности

Теорема о конце света

Теорема Менелая

Теорема о движении центра масс системы

Теорема Эрроу

Теорема Блоха

Теорема о причёсывании ежа