Теорема о замкнутом графике — важный результат функционального анализа , устанавливающий критерий ограниченности линейного оператора между банаховыми пространствами .

Формулировки

• Линейный оператор ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда его график ${\displaystyle \Gamma _{T}:=\{(x,Tx)\in X\times Y:x\in D(T)\}}$ замкнут в пространстве ${\displaystyle X\times Y}$ и оператор определен на всём пространстве X (т.е. ${\displaystyle D(T)=X}$ ).
• Линейный оператор ${\displaystyle T:\,X\to Y}$ между банаховыми пространствами X и Y ограничен тогда и только тогда, когда для любой последовательности ${\displaystyle \{x_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset X}$ , такой что ${\displaystyle x_{n}\to x}$ и ${\displaystyle Tx_{n}\to y}$ , выполняется ${\displaystyle y=Tx}$ .

Замечания

• Первая из приведённых формулировок сохраняет силу и при некотором ослаблении требований; а именно, достаточно потребовать, чтобы X было бочечным линейным топологическим пространством , а Y — пространством Фреше .

Следствия

Из теоремы о замкнутом графике следует теорема Хеллингера — Тёплица .

Ссылки

• (англ.)