Супераддитивность — свойство числовой последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ ( ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ), при котором каждый элемент ${\displaystyle (n+m)}$ -й элемент не меньше суммы ${\displaystyle a_{n}}$ и ${\displaystyle a_{m}}$ для любых ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ : ${\displaystyle a_{n+m}\geqslant a_{n}+a_{m}}$ .

Понятие введено в связи с леммой Фекете : для любой супераддитивной последовательности ${\displaystyle \{a_{n}\}}$ предел ${\displaystyle \lim a_{n}/n}$ существует и равен супремуму ${\displaystyle \sup a_{n}/n}$ (предел может быть положительной бесконечностью, например, для последовательности ${\displaystyle a_{n}=\log n!}$ ).

Свойство может быть распространено на функции : ${\displaystyle f}$ супераддитивна, если ${\displaystyle f(x+y)\geqslant f(x)+f(y)}$ для любых ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ из области определения . Например, ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ является супераддитивной функцией для неотрицательных действительных чисел, поскольку квадрат ${\displaystyle x+y}$ всегда больше или равен сумме квадратов ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ для любых неотрицательных действительных чисел ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$ .

Полуаддитивность (субаддитивность) — двойственное понятие, результаты о супераддитивных функциях и последовательностях переносятся и на полуаддитивные объекты, в частности, аналог леммы Фекете верен и для полуаддитивных последовательностей. Существуют расширения леммы Фекете, которые не требуют, чтобы определение супераддитивности выполнялось для всех ${\displaystyle m}$ и ${\displaystyle n}$ . Есть также результаты, которые позволяют вывести скорость сходимости к пределу, существование которого утверждается в лемме Фекете, если присутствует какая-либо супераддитивность или субаддитивность .

Если ${\displaystyle f}$ — супераддитивная функция и 0 находится в её области определения, то ${\displaystyle f(0)\leqslant 0}$ (следует из ${\displaystyle f(x)\leqslant f(x+y)-f(y)}$ ).

Примеры

Определитель супераддитивен для неотрицательной эрмитовой матрицы , то есть если ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$ — неотрицательные эрмитовы матрицы, то ${\displaystyle \det(A+B)\geqslant \det(A)+\det(B)}$ . Это следует из , которая в общем случае утверждает, что ${\displaystyle \det(\cdot )^{1/n}}$ является супераддитивной (то есть вогнутой ) для неотрицательных эрмитовых матриц размера ${\displaystyle n}$ : если ${\displaystyle A,B\in {\text{Mat}}_{n}(\mathbb {C} )}$ — неотрицательные эрмитовы матрицы, то ${\displaystyle \det(A+B)^{1/n}\geqslant \det(A)^{1/n}+\det(B)^{1/n}}$ .

Функция взаимной информации супеаддитивна.

В 2009 году доказано , что ${\displaystyle H(x)}$ супераддитивна для всех действительных чисел ${\displaystyle x,y\geqslant 1{,}5031}$ .

Примечания

Ссылки

• György Polya and Gábor Szegö. Problems and theorems in analysis, volume 1. — Springer-Verlag, New York, 1976. — ISBN 0-387-05672-6 .
• Эта статья включает в себя текст с сайта PlanetMath , который опубликован под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .