С-ядро ( англ. core , произносится цэ-ядро ) — принцип оптимальности в теории кооперативных игр , представляющий собой множество эффективных распределений выигрыша, устойчивых к отклонениям любой коалиции игроков, то есть множество векторов ${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2},...,x_{N})}$ , таких, что:

${\displaystyle \sum _{i\in N}{x_{i}}=v(N)}$

и для любой коалиции ${\displaystyle K\subset N}$ выполнено:

${\displaystyle \sum _{i\in K}{x_{i}}\geq v(K)}$ ,

где ${\displaystyle v}$ — характеристическая функция игры.

Свойства

• Эквивалентным является определение С-ядра кооперативной игры в терминах блокирования распределений выигрыша коалициями. Говорят, что коалиция K блокирует распределение выигрыша x , если найдётся другое распределение выигрыша y , такое, что

${\displaystyle \sum _{i\in K}{y_{i}}\leq v(K)}$ ,

и для любого участника ${\displaystyle i\in K}$ выполнено ${\displaystyle y_{i}\geq x_{i}}$ .

Тогда С-ядром кооперативной игры называется множество распределений выигрыша, которые не могут быть заблокированы ни одной коалицией.

• С-ядро задаётся системой линейных уравнений и нестрогих линейных неравенств, в связи с чем оно является выпуклым многогранником .

• С-ядро может быть пустым. Достаточные условия непустоты ядра были сформулированы Л.Шепли :

Теорема. Кооперативная игра с супермодулярной характеристической функцией имеет непустое ядро.

Необходимые и достаточные условия непустоты ядра были сформулированы О. Бондаревой и, позднее, Л. Шепли :

Теорема. Ядро кооперативной игры непусто тогда и только тогда, когда она .

• Любое равновесие Вальраса принадлежит ядру, однако обратное неверно. Однако, при некоторых предположенях, если количество агентов в экономике стремится к бесконечности, ядро стремится ко множеству равновесий Вальраса (гипотеза Эджворта ).

См. также

• Кооперативная игра (математика)
• K-ядро
• N-ядро

Источники

• Бондарева О.Н. Некоторые применения методов линейного программирования к теории кооперативных игр // Проблемы кибернетики. — 1963. — Т. 10 . — С. 119 - 140 .

• Kannai Y. The core and balancedness // Handbook of Game Theory with Economic Applications, Vol. I. — Amsterdam: Elsevier, 1992. — С. 355 - 395. — ISBN 978-0-444-88098-7 .

• Shapley L.S. On balanced sets and cores // Naval Research Logistics Quarterly. — 1967. — Т. 14 . — С. 453 - 460 .

• Петросян Л. А., Зенкевич Н. А., Шевкопляс Е. В. Теория игр. — Санкт-Петербург: БХВ-Петербург, 2012. — С. 432. — ISBN 978-5-9775-0484-3 .