Interested Article - Теория унтертонов

aoibhe
  • 2020-05-28
  • 1

Унтертоновый ряд Эттингена-Римана. Минорное трезвучие образуется сочетанием первого (g 2 ), третьего (c 1 ) и пятого (es) унтертонов. «Фоническим обертоном», или «фоническим центральным тоном» (phonischer Oberton, phonischer Zentralton, ср. Основной тон ) объявляется верхний тон (квинта) минорного трезвучия

Теория унтерто́нов ( нем. Unterton букв. нижний тон/звук; англ. undertone, subharmonic ) в музыкально-акустическом учении Артура фон Эттингена и Гуго Римана — представление о звукоряде , в котором последовательность звуков обратна последовательности обертонов (гармоник) натурального звукоряда . Теория унтертонов была призвана объяснить минорное трезвучие как природный феномен. С помощью противопоставления мажорного трезвучия, которое выводилось из натурального звукоряда, минорному (выведенному из унтертонового звукоряда) «акустически» обосновывался «гармонический дуализм» ( нем. harmonischer Dualismus ) мажорно-минорной тональности .

Краткая характеристика

Имя гармонический унтертон (harmonischer Unterton) ввёл Герман Гельмгольц (1863), обозначая основной тон источника звука, содержащего в спектре обертон, идентичный основному тону резонатора .

Гармонические унтертоны (harmonische Untertöne) изучал также Эттинген . Риман сделал их опорой учения о гармонии в 1870-80 гг, представив их как натуральный унтертоновый ряд (Untertonreihe), дополняя натуральным обертоновым рядом (Obertonreihe). Он твёрдо заявил:

Как бы то ни было, даже если все авторитеты мира выйдут и скажут «мы ничего не слышим», я буду вынужден ответить им: «я слышу нечто и действительно нечто очень чёткое».

Оригинальный текст (нем.)
Wie dem auch sei und wenn alle Autoritäten der Welt auftreten und sagen "wir hören nichts", so muss ich ihnen doch sagen: "ich höre etwas und zwar etwas sehr deutliches".
— Г. Риман

когда слышимость унтертонов была поставлена под сомнение .

В 1905-м, в обширной статье «Проблема гармонического дуализма» Риман открыто признал, что псевдо-логика ряда унтертонов, выстроенного из ряда обертонов, длительное время его дурачила ( нем. getäuscht ), что отразилось в первых теоретических трудах по гармонии.

К концу жизни Риман по-прежнему придерживался гармонического дуализма, но двойственность обер/унтертоновых звукорядов пояснял скорее психофизическими причинами, чем акустическими, что хорошо заметно в его поздней (1914) статье «Ideen zu einer Lehre von den Tonvorstellungen»:

Сущность мажорного консонанса — в простейших отношениях возрастания скорости колеблющегося тела (Schwingungsgeschwindigkeit), сущность же минорного консонанса — в простейших отношениях увеличения колеблющейся массы (schwingende Masse) — длины звуковой волны, длины струны и т. д.

— Г. Риман

Эту перемену в воззрениях Римана исследователи объясняют влиянием на него тон-психологии (Tonpsychologie) Карла Штумпфа [ нет в источнике ] .

Схожую с Риманом музыкально-акустическую теорию, где с помощью «субгармонического резонанса» ( фр. résonnanse harmonique inférieure ) обосновывалась «природность» минорного трезвучия, выдвигал в конце XIX века французский композитор и педагог Венсан д'Энди .

Востребованность

Унтертоновая теория ныне признана достаточно ценной, хотя унтертоновый ряд как физическая действительность не очевиден . «Отвергнутый в науке, вздорный эксперимент Римана продолжает жить в качестве анекдота, который рассказывают и пересказывают бессчётное количество раз на уроках музыкальной теории» . Однако слово унтертон ( нем. Unterton , англ. undertone , также англ. subharmonic ) закрепилось за разностным комбинационным тоном , который может возникать из-за нелинейных искажений в результате смешивания двух или более звуков (особенно если эти звуки громкие и незатухающие). Поскольку известно, что высоту выражает не только фундаментал , но и резидуум , то в содержимом любого со́звука у каждого обертона есть не менее одного унтертона с высотой фундаментала со́звука.

\version "2.16.2" \header { tagline = ##f title = "Ряд унтертонов в результате смешивания со́звуков" subtitle = "Нотация в смысле 24РДО темперации. Нажать чтобы услышать MIDI" subsubtitle = "Акколада вверху выделяет щутеновы (Schouten's) резидуумы. В басу — фундаменталы" } melody = { \clef bass \key c \major \time 4/1 \set Staff.midiInstrument = "bassoon" { \override NoteHead.font-size = #2 \override NoteHead.style = #'harmonic c'1_\markup{\column{\line{\italic{c}¹} по слуху}} r1^\markup{\column{по слуху \line{\italic{c}¹}}} c1_\markup{\column{\italic{c} по сл.}} r1^\markup{\column{по сл. \italic{c}}} \clef "varbaritone_15" f,1_\markup{\column{\italic{F} по сл.}} r1^\markup{\column{по сл. \italic{F}}} c,1_\markup{\column{\italic{C} по сл.}} r1^\markup{\column{по сл. \italic{C}}} as,,1_\markup{\column{\line{\italic{As}₁} по сл.}} r1^\markup{\column{по сл. \line{\italic{As}₁}}} f,,1_\markup{\column{\line{\italic{F}₁} по сл.}} r1^\markup{\column{по сл. \line{\italic{F}₁}}} d,,1_\markup{\column{\line{\italic{D}₁} по сл.}} r1^\markup{\column{по сл. \line{\italic{D}₁}}} c,,1_\markup{\column{\line{\italic{C}₁} по сл.}} r1^\markup{\column{по сл. \line{\italic{C}₁}}} \bar "|." }} text = \lyricmode { } \score { << \new PianoStaff << \new Staff {\override NoteHead.font-size = #-2 \clef "tenor^29" \key c \major \set Staff.midiInstrument = "piccolo" { <es''''' cis''''' d''''>1^\markup{\column{ \line{ Пример вхождения первого со́звука в любой другой из ряда унтертонов }\line{ Паузы баса неощутимы — \italic{резидуумы} восполняют пропущенные высоты }}} ~<es''''' cis''''' d''''>1~<es''''' cis''''' d''''>1~<es''''' cis''''' d''''>1~ <es''''' cis''''' d''''>1~<es''''' cis''''' d''''>1~<es''''' cis''''' d''''>1~<es''''' cis''''' d''''>1~ <es''''' cis''''' d''''>1~<es''''' cis''''' d''''>1~<es''''' cis''''' d''''>1~<es''''' cis''''' d''''>1~ <es''''' cis''''' d''''>1~<es''''' cis''''' d''''>1~<es''''' cis''''' d''''>1~<es''''' cis''''' d''''>1 }} \new Staff {\override NoteHead.font-size = #-2 \clef "mezzosoprano^29" \key c \major \set Staff.midiInstrument = "piccolo" { <ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~ <ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~ <ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~ <ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~<ceh'''''' fih''''' fih''''>1~ }} \new Staff {\override NoteHead.font-size = #-2 \clef "tenor^15" \key c \major \set Staff.midiInstrument = "piccolo" { <g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1~ <g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1~ <g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1~ <g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1~<g''' c''' g'' c''>1 }} \new Staff {\override NoteHead.font-size = #-2 \clef "treble^15" \key c \major \set Staff.midiInstrument = "piccolo" { r\breve <es'''' cis''''>1~<es'''' cis''''>1 <feh'''' beh''' beh''>1~<feh'''' beh''' beh''>1 <es''' cis'''>1~<es''' cis'''>1 \clef "baritone^15" <aeseh''' deh''' deh''>1~<aeseh''' deh''' deh''>1 <aes'' fis''>1~<aes'' fis''>1 <deh''' gih'' gih'>1~<deh''' gih'' gih'>1 <es'' cis''>1~<es'' cis''>1 }} \new Staff {\override NoteHead.font-size = #-2 \clef "soprano^15" \key c \major \set Staff.midiInstrument = "piccolo" { r\breve <ceh''''' fih'''' fih'''>1~<ceh''''' fih'''' fih'''>1 <aes''' fis'''>1~<aes''' fis'''>1 <ceh'''' fih''' fih''>1~<ceh'''' fih''' fih''>1 \clef "baritone^15" <c'''! a''!>1~<c''' a''>1 <feh''' beh'' beh'>1~<feh''' beh'' beh'>1 <f''! dis''>1~<f'' dis''>1 <ceh''' fih'' fih'>1~<ceh''' fih'' fih'>1 }} \new Staff {\override NoteHead.font-size = #-2 \clef "subbass^15" \key c \major \set Staff.midiInstrument = "piccolo" { r\breve <d''' g'>1~<d''' g'>1 <g'' c'>1~<g'' c'>1 <d'' g>1~<d'' g>1 \clef tenor <bes' es>1~<bes' es>1 <g' c>1~<g' c>1 <e' a,>1~<e' a,>1 <d' g,>1~<d' g,>1 }} >> \new Voice = "mel" \melody \new Lyrics \lyricsto mel \text >> \layout { indent = #0 line-width = #180 } \midi { } }

Ещё в начале XX века Ф. Крюгер (1901) утверждал, что даже если унтертоны как акустическое явление существуют, они лежат за пределами способности слухового восприятия человека . В 1927 г. Б. ван дер Поль впервые создал экспериментальный колебательный контур , позволявший слышать унтертоны . Унтертоны на электромеханическом инструменте (предшественнике синтезатора) траутониуме воплотил немецкий инженер и органист (1930). В развитие идеи траутониума в послевоенной ГДР был создан траутониум с клавишной механикой и электронными генераторами, так называемый субхаркорд ( ).

Низкочастотные призвуки (унтертоны во втором значении) наблюдают также в колоколах, в больших камертонах , в горловом пении и т. д. На органе унтертоны извлекаются сочетанием двух разнонастроенных труб . П.Хиндемит в своём трактате «Unterweisung im Tonsatz» (1937) объяснял низкочастотные разностные тоны на органах практической необходимостью:

Поскольку лабиальные трубы из-за своего размера очень дороги и не везде доступны, то, чтобы не отказываться от самых низких звуков в маленьких органах, органостроители берут две более высокие [по звучанию] (и более маленькие) трубы, которые в одновременном звучании издают, образуя комбинационный тон (Kombinationston), требуемый [низкий] звук.

— Хиндемит. Наставление в композиции

Такой разностный тон в органостроении получил типологическое обозначение «акустический бас» ( англ. acoustic bass ) , или «результантный бас» ( англ. resultant bass ) .

См. также

Примечания

  1. Helmholtz 1865, p. 76:
    «Можно легко убедиться с помощью испытаний в указанных свойствах резонаторов. Вы прислоняете таковые к уху, и пусть играет какой-то полифонический фрагмент музыки любых инструментов, где часто происходит естественный тон резонатора. Так часто как этот тон дается, вооруженное резонатором ухо слышит его проникновение через все другие звуки аккорда.

    Слабее, но часто слышны таковые, обозначенные нижними со́звуками, а именно, что показывает первое детальное исследование этого случая, когда со́звуки даются с одним из гармонических обертонов на собственном тоне резонатора. Называются эти нижние со́взвуки гармонические унтертоны тона резонатора. Это со́звуки, у которых период колебания в 2, 3, 4, 5 и т. д. раз больше, чем у тона резонатора. Если таков, например, , то можно услышать его звучание, когда музыкальный инструмент играет: . В этих случаях резонатор звучит от одного из обертонов указанного со́звука во внешнем воздушном пространстве. Но следует отметить, что со́звуки отдельных инструментов не всегда содержат все гармонические обертоны, и они имеют разную силу. В звуках скрипки, фортепиано и фисгармонии первые 5 или 6 наиболее явно присутствуют. Про обертоны струн следует более подробное описание в следующем разделе
    ( нем.
    Man kann sich durch Versuche von den angegebenen Eigenschaften der Resonatoren leicht überzeugen. Man setze einensolchen an das Ohr und lasse irgend ein mehrstimmiges Musikstück von beliebigen Instrumenten ausführen, in dem öfters der Eigen ton des Resonators vorkommt. So oft dieser Ton angegeben wird, wird das mit dem Resonator bewaffnete Ohr ihn gellend durch alle anderen. Töne des Accords hindurchdringen hören.

    Schwächer wird es ihn aber oft auch hören, wenn tiefere Klänge angegeben werden, und zwar zeigt die nähere Untersuchung zunächst, dass dies geschieht, wenn Klänge angegeben werden, zu deren harmonischen Obertönen der Eigenton des Resonators gehört. Man nennt dergleichen tiefere Klänge auch wohl die harmonischen Untertöne des Resonator tones. Es sind die Klänge, deren Schwingungsperiode gerade 2, 3, 4, 5 u. s. w. Mal grösser ist, als die des Resonator tones. Ist dieser also z. B. , so hört man ihn tönen, wenn ein musikalisches Instrument angiebt: In diesen Fällen tönt der Resonator durch einen der harmonischen Obertöne des im äusseren Luftraume angegebenen Klanges. Doch ist zu bemerken, dass nichtimmer alle harmonischen Obertöne in den Klängen der einzelnen Instrumente vorkommen, und dass sie bei verschiedenen auch sehr verschiedene Stärke haben. Bei den Tönen der Geigen, des Ciaviers, der Physharmonica sind die ersten 5 oder 6 meist deutlich vorhanden. Ueber die Obertöne der Saiten folgt Genaueres im nächsten Capitel     )»
  2. Helmholtz H. Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. 6te Aufl. Braunschweig, 1913, S.76; в рус. переводе М.Петухова — «нижний гармонический тон» (Учение о слуховых ощущениях как физиологическая основа для теории музыки. СПб., 1875, с.75).
  3. См.: Öttingen A. von. Harmoniesystem in dualer Entwickelung. Dorpat, Leipzig, 1866, S.31.
  4. Riemann, H. от 19 октября 2016 на Wayback Machine . Leipzig, 1877, S.121.
  5. Rehding 2003, pp. 15-6:
    « англ. When Riemann’s contention that the undertones are audible was not confirmed by others, he fiercely defended his position: However this may be, and if all the authorities in the world appeared and said: ‘We cannot hear anything’, I would still have to say: ‘I can hear something, something very distinct. »
  6. Riemann H. Das Problem des harmonischen Dualismus // Neue Zeitschrift für Musik, 72. Leipzig, 1905, S.23-4:
    «Также А. ф. Эттингена утверждение с таковым Гауптмана полностью тождественно, потому что он „фоническому обертону“, то есть первому тону, который в обертонрядах 3[-х] тонов минорнаккорда встречается, значение центра тонсвязей приписывает: Таким образом, и Эттинген держит в конце концов все же для обоснования минорного созвучия по явлению обертонов неподвижность и даёт минораккорду даже три основных тона, вокруг косвенно одного, чтобы получить общий тон. То, что он затем говорит, позже устраняет обертонряд и из найденного таким образом фонического централтона ретроспективно (с. 31) весь ряд тонов, из которых одинаковый обертон есть, от понятия Гельмгольца (с.76) также ряд гармонических унтертонов вводится: <даётся нотный пример на изображении слева>
    смотрится хотя затем как основополагающее взаимосвязи минорного созвучия в этом ряду, но этого всё же на самом деле нет. Я признаю открыто, что псевдо-логика этого из обертонряда выстроенного унтертонряда меня самого длительное время дурачила и также в моих первых гармониотеоретических трудах все еще сохраняется. ( нем.

    Auch A. v. Oettingens Erklärung ist mit derjenigen Hauptmanns vollkommen identisch, da er dem "phonischen Obertone", d. h. dem ersten Tone, der sich in den Obertonreihen der 3 Töne des Mollakkords findet, die Bedeutung des Zentrums der Tonbeziehungen zuschreibt: <...> Also auch Oettingen hält schliesslich doch an der Begründung der Mollkonsonanz durch das Phänomen der Obertöne fest und gibt dem Mollakkorde sogar drei Grundtöne, um mittelbar den einigenden gemeinsamen Ton zu erhalten. Dass er dann sozusagen nachträglich die Obertonreihe eliminiert und von dem auf diese Manier gefundenen phonischen Zentraltone aus rückblickend (S. 31) die ganze Reihe der Töne, von denen der selbe Oberton ist, mit Helmholtz' Terminus (S. 76) als Reihe der harmonischen Untertöne einführt: <...> sieht zwar dann aus wie eine prinzipielle Beziehung der Mollkonsonanz auf diese Reihe, ist das aber doch tatsächlich nicht. Ich gestehe offen, dass die Pseudologik dieser aus Obertonreihen heraus konstruierten Untertonreihe mich selbst längere Zeit getäuscht hat und auch in meinen ersten harmonietheoretischen Schriften noch zu spüren ist.)»

  7. Jahrbuch der Musikbibliothek Peters 21 (1914), SS. 1-26.
  8. Riemann H. Das Problem des harmonischen Dualismus <...>, S.43.
  9. Münnich R. Von [der] Entwicklung der Riemannschen Harmonielehre und ihrem Verhältnis zu Oettingen und Stumpf // Riemann-Festschrift. Leipzig, 1909, SS. 60-76.
  10. См. в его кн.: Cours de composition musicale. Livre 1. Paris: Durand, 1912, p.98-101.
  11. Например, см. от 11 июня 2016 на Wayback Machine в «Кембриджской истории западной музыкальной науки» (библиографическое описание ниже), с. 465:
    «Остается только сказать здесь, что аргументация Римана в интересах унтертонового ряда привела к некоторому количеству бесплодных закоулков и издержала много энергии впустую с его стороны. Сделалось очевидным, с некоторым сожалением, — но, вероятно, также значительным облегчением — что в конце своей жизни, он вчистую оставил поиски акустического доказательства для этого ряда и взамен положил психологическое обоснование.¹⁸ Следует подчеркнуть, однако, что эвристическая ценность онтологического дуализма Римана вовсе не зависима от какого-то природного подтверждения унтертонового ряда. Его предельное оправдание приходит в логической и явной аккордовой сети родственностей, что дуалистическая перспектива предоставляет. ( англ.
    It only remains to say here that Riemann's argumentation on behalf of the undertone series led to any number of unfruitful byways and expended much wasted energy on his part. It was obviously with some regret — but probably also considerable relief — that at at the end of his life, he finally abandoned the search for an acoustical proof for the series and instead posited a psychological grounding .¹⁸ It should be emphasized, however, that the heuristic value of Riemann's ontological dualism is by no means dependent upon any natural justification of the undertone series. Its ultimate vindication comes in the logical and revealing network of chord relationships that a dualist perspective affords.     )».
  12. Rehding A. Hugo Riemann… (см. библиографическое описание ниже), pp.16-17.
  13. Reinecke H.-P. Riemanns Beobachtungen von «Divisionstönen» und die neueren Anschauungen zur Tonhöhenwahrnehmung // Hans Albrecht in memoriam. Kassel, 1962, SS.232-241.
  14. IEV 1994, 801-29-01:
    «высота
    та определённость слухового ощущения, в условиях которой звуки могут быть упорядочены по шкале, которая тянется от низкого до высокого
    Примечание 1 — Высота сложной волны зависит в первую очередь от частотного содержимого стимула, но она также зависит от звукового давления и формы сигнала.
    Примечание 2 — Высота звука может быть описана по частоте того чистого тона, имеющего заданный уровень звукового давления, который есть оценен через субъектов, чтобы давать такую же высоту ( англ.
    pitch
    that attribute of auditory sensation in terms of which sounds may be ordered on a scale extending from low to high
    Note 1 — The pitch of a complex wave depends primarily upon the frequency content of the stimulus, but it also depends upon the sound pressure and the waveform.
    Note 2 — The pitch of a sound may be described by the frequency of that pure tone having a specified sound pressure level that is judged by subjects to produce the same pitch     )»
    от 28 апреля 2017 на Wayback Machine
  15. Риман 1896 по Энгелю 1901, с. 1201:
    « Со́звукъ (нем. Klang ). Съ тѣхъ поръ какъ извѣстно, что каждый звукъ нашихъ музык. инструментовъ представляетъ собой не простой тонъ, а состоитъ изъ цѣлаго ряда простыхъ тоновъ (которые обыкновенно не замѣчаются нами, но при напряженномъ вниманіи вполнѣ различимы), появилась необходимость въ новомъ терминѣ, подъ которымъ подразумѣвалось бы понятіе болѣе широкое, чѣмъ „тонъ“ и болѣе спеціальное, чѣмъ „звукъ“. Такимъ терминомъ является с., понимаемый какъ совокупность составляющихъ музыкальный звукъ тоновъ, въ противоположность простому „тону“, какъ составной части с-а. С. получаетъ свое названіе отъ самаго нижняго (обыкновенно самаго сильнаго и слышнаго) изъ составляющихъ его тоновъ <…> фундаментальнаго, основнаго»
    от 1 июля 2016 на Wayback Machine
  16. Partch 1974, с. 70:
    «Гармоническое содержимое: практически синонимично качеству тона; выражение использовалось для обозначения той характеристики музыкального тона, которая определяется распределением и сравнительной энергией его партиалов или гармоник; со́звук . ( англ.
    Harmonic Content: practically synonymous with quality of tone; the term used to indicate that characteristic of a musical tone which is determined by the distribution and comparative energy of its partials, or harmonics; the klang .     )»
  17. IEV 1994, 801-30-01:
    «основной тон
    фундаментал
    синусоидальная составляющая периодической звуковой волны, имеющая ту же частоту, что и периодическая волна ( англ.
    fundamental tone
    fundamental
    sinusoidal component of a periodic sound wave having the same frequency as the periodic wave     )»
    от 7 октября 2015 на Wayback Machine
  18. Schouten 1940, cс. 356-61:
    «Это факт, что высота равная таковой от фундаментала приписывается даже тем звукам, в которых фундаментал не присутствует <…> одна или несколько составляющих могут быть восприняты, которые не соответствуют какому-то отдельному синусоидальному колебанию , но которые являются коллективным проявлением каких-то из этих колебаний, которых нет или почти не почувствовать отдельно . Эти компоненты ( резидуумы ) имеют нечистое резкое тон-качество <…> гармоники высокие по частоте воспринимаются как подлежащая составляющая почти самая низкая по высоте ( англ.
    It is a fact that a pitch equal to that of the fundamental tone is ascribed even to those sounds in which the fundamental tone is not present <...> one or more components may be perceived which do not correspond with any individual sinusoidal oscillation , but which are a collective manifestation of some of those oscillations which are not or scarcely individually perceptible . These components ( residues ) have an impure, sharp tone-quality <...> the harmonics highest in frequency are perceived as a subjective component almost lowest in pitch     )»
  19. Krueger F. Zur Theorie der Combinationstöne // Philosophische Studien 17 (1901).
  20. Pol B. van der. Über Relaxationsschwingungen // Zeitschrift für Hochfrequenztechnik 19 (1927).
  21. от 31 января 2016 на Wayback Machine .
  22. Hindemith P. Unterweisung im Tonsatz. Mainz, 1937, S.82.
  23. Acoustic bass // Harvard Dictionary of Music. 2nd ed. by W.Apel. Cambridge, Mass., 1969, p.8.
  24. от 5 февраля 2015 на Wayback Machine .

Литература

  • Дорофеев Д.Л. // Большая российская энциклопедия. Том 33. — М. , 2017. — С. 47.
  • Öttingen A. von. Harmoniesystem in dualer Entwickelung. Dorpat, Leipzig, 1866; 2-е расшир. издание под назв.: Das duale Harmoniesystem. Leipzig, 1913.
  • Riemann H. Die objektive Existenz der Untertöne in der Schallwelle // Allgemeine Deutsche Musikzeitung, 5 (1875).
  • Riemann H. Das Problem des harmonischen Dualismus; ein Beitrag zur Ästhetik der Musik // Neue Zeitschrift für Musik, 72 (Leipzig, 1905), SS. 3-5, 23-6, 43-6, 67-70.
  • Vogel M. Arthur von Oettingen und der harmonische Dualismus // Beiträge zur Musiktheorie des neunzehnten Jahrhunderts. Regensburg, 1966.
  • Daenicke W. Untertöne // Riemann Musiklexikon. 12te Aufl. Sachteil. Mainz, 1967, S.1008-1009.
  • Taylor Ch., Campbell M. Sound: § 9. Tones in sequence and combination // The New Grove Dictionary of Music and Musicians . London; New York, 2001.
  • Rehding A. Hugo Riemann and the birth of modern musical thought. Cambridge, 2003. ISBN 0-521-82073-1 .
  • Klumpenhouwer H. Dualist tonal space and transformation in nineteenth-century musical thought // The Cambridge history of Western music theory. 6th ed. Cambridge, 2008, p. 456—476.

Ссылки

  • Helmholtz, H. (нем.) . — Braunschweig: Vieweg und sohn, 1865. — S. I-XII, 1-606.
  • IEV, Online (англ.) . International Electrotechnical Commission (1994). Дата обращения: 21 октября 2016.
  • Partch, Harry. (неопр.) . — 2nd enlarged edition. — New York: Da Capo Press , 1974. — ISBN 0-306-80106-X .
  • (фрагмент)
  • Schouten, J. F. (Natuurkundig Laboratorium der N. V. Philips' Gloeilampenfabrieken). (англ.) . — Holland. Eindhoven: (Communicated by Prof. G. Holst at the meeting), Feb 24, 1940. — P. 356—365.
  • (автореферат диссертации)
  • Риман по Энгелю. . Юргенсон (1901). Дата обращения: 21 октября 2016.
Источник —

aoibhe
  • 2020-05-28
  • 1
  • Tags:

Same as Теория унтертонов

The title for the last searches