Корни n -й степени из единицы — комплексные корни многочлена ${\displaystyle x^{n}-1}$ , где ${\displaystyle n\geqslant 1}$ . Другими словами, это комплексные числа, n -я степень которых равна 1. В общей алгебре рассматриваются также корни многочлена ${\displaystyle x^{n}-1}$ не только в комплексном, но и в произвольном ином поле , характеристика ${\displaystyle p}$ которого не является делителем степени ${\displaystyle n}$ многочлена .

Корни из единицы широко используются в математике, особенно в теории чисел , быстром преобразовании Фурье , теории расширений полей , теории построений циркулем и линейкой , представлениях групп .

Представление

Представим комплексную единицу в тригонометрическом виде:

${\displaystyle 1=\cos 0+i\sin 0.}$

Тогда по формуле Муавра получим выражение для ${\displaystyle k}$ -го корня n -й степени из единицы ${\displaystyle u_{k}}$ :

${\displaystyle u_{k}=\cos {\frac {2\pi k}{n}}+i\sin {\frac {2\pi k}{n}},\quad k=0,1,\dots ,n-1.}$

Корни из единицы могут также быть представлены в показательной форме:

${\displaystyle u_{k}=e^{{\frac {2\pi k}{n}}i},\quad k=0,1,\dots ,n-1.}$

Из этих формул вытекает, что корней n -й степени из единицы всегда ровно ${\displaystyle n}$ , и все они различны .

Примеры

Кубические корни из единицы:

${\displaystyle \left\{1,{\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}$

Корни 4-й степени из единицы:

${\displaystyle \left\{1,+i,-1,-i\right\}.}$

Для корня 5-й степени имеются 4 порождающих элемента, степени каждого из которых охватывают все корни 5-й степени:

${\displaystyle {\Big \{}e^{\frac {2\pi ik}{5}}\,{\Big |}\,k\in \{1,2,3,4\}{\Big \}}=\left\{\left.{\frac {u{\sqrt {5}}-1}{4}}+v{\sqrt {\frac {5+u{\sqrt {5}}}{8}}}i\,\right|\,u,v\in \{-1,1\}\right\}.}$

Для корня 6-й степени порождающих элементов только два ( ${\displaystyle u_{1}}$ и ${\displaystyle u_{5}}$ ):

${\displaystyle \left\{{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}},{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right\}.}$

Свойства

Геометрические свойства

Модуль каждого корня равен 1. На комплексной плоскости корни из единицы образуют вершины правильного многоугольника , вписанного в единичную окружность . Одной из вершин всегда является комплексная единица ${\displaystyle 1+0i.}$ Вещественных корней может быть либо два, если ${\displaystyle n}$ чётно (единица и минус единица), либо один (единица), если ${\displaystyle n}$ нечётно. В любом случае невещественных корней чётное число , они располагаются симметрично относительно горизонтальной оси. Последнее означает, что если ${\displaystyle u_{k}}$ — корень из единицы, то сопряжённое к нему число ${\displaystyle {\overline {u_{k}}}}$ — тоже корень из единицы .

Пусть M — произвольная точка единичной окружности и ${\displaystyle n>1.}$ Тогда сумма квадратов расстояний от M до всех корней ${\displaystyle n}$ -й степени из единицы равна ${\displaystyle 2n}$ .

Алгебраические свойства

Корни из единицы представляют собой целые алгебраические числа .

Корни из единицы образуют по умножению коммутативную конечную группу порядка ${\displaystyle n}$ . В частности, любая целая степень корня из единицы тоже является корнем из единицы. Обратный элемент для каждого элемента этой группы совпадает с сопряжённым ему. Нейтральным элементом группы является комплексная единица .

Группа корней из единицы изоморфна аддитивной группе классов вычетов ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}.}$ Отсюда следует, что она является циклической группой; в качестве порождающего ( первообразного ) можно взять любой элемент ${\displaystyle u_{k}}$ , индекс ${\displaystyle k}$ которого взаимно прост с ${\displaystyle n}$ .

Следствия :

• элемент ${\displaystyle u_{1}}$ всегда является первообразным (его часто называют главным корнем из единицы);
• если ${\displaystyle n}$ — простое число , то степени любого корня, кроме ${\displaystyle \pm 1}$ , охватывают всю группу (то есть все корни, кроме ${\displaystyle \pm 1}$ , являются первообразными);
• число первообразных корней равно ${\displaystyle \varphi (n)}$ , где ${\displaystyle \varphi }$ — функция Эйлера .

Если ${\displaystyle n>1}$ , то для любого первообразного корня из единицы ${\displaystyle u}$ имеют место формулы

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}u^{k}={\frac {u^{n}-1}{u-1}}=0,}$

${\displaystyle \prod _{k=1}^{n-1}|1-u_{k}|=n.}$

Круговые поля

Круговое поле , или поле деления круга степени n — это поле ${\displaystyle K_{n}=\mathbb {Q} (u)}$ , порождённое присоединением к полю рациональных чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ первообразного корня n -й степени из единицы ${\displaystyle u}$ . Круговое поле является подполем поля комплексных чисел; оно содержит все корни n -й степени из единицы, а также результаты арифметических действий над ними.

Исследование круговых полей сыграло значительную роль в создании и развитии теории целых алгебраических чисел , теории чисел и теории Галуа .

Пример: ${\displaystyle K_{3}}$ состоит из комплексных чисел вида ${\displaystyle a+b{\sqrt {3}}\,i}$ , где ${\displaystyle a,b}$ — рациональные числа.

Теорема Кронекера — Вебера : всякое абелево конечное расширение поля рациональных чисел содержится в некотором круговом поле.

Обобщения

Корни из единицы n -й степени можно определить не только для комплексных чисел, но и для любого другого алгебраического поля ${\displaystyle K}$ как решения уравнения ${\displaystyle x^{n}=1}$ , где ${\displaystyle 1}$ — единица поля ${\displaystyle K}$ . Корни из единицы существуют в любом поле и образуют подгруппу мультипликативной группы поля ${\displaystyle K}$ . Обратно, любая конечная подгруппа мультипликативной группы поля ${\displaystyle K}$ содержит только корни из единицы и является циклической .

Если характеристика поля ненулевая, то группа корней из единицы совместно с нулём образует конечное поле .

История

Широкое применение корней из единицы как инструмента исследования начал Гаусс . В своей монографии « Арифметические исследования » (1801) он впервые решил древнюю задачу о делении окружности циркулем и линейкой на n равных частей (или, что то же, о построении правильного многоугольника с n сторонами). С помощью корней из единицы Гаусс свёл задачу к решению уравнения деления круга:

${\displaystyle x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots +x+1=0.}$

Дальнейшие рассуждения Гаусса показали, что задача имеет решение, только если n может быть представлено в виде ${\displaystyle 2^{2^{r}}+1}$ . Подход Гаусса использовали позднее Лагранж и Якоби . Коши применил корни из единицы для исследования более общей задачи решения алгебраических уравнений со многими неизвестными (1847 год) .

Новые применения корней из единицы обнаружились после создания в начале XX века абстрактной алгебры . Эмми Нётер и Эмиль Артин использовали это понятие в теории расширений полей и обобщении теории Галуа .

См. также

• Круговой многочлен
• Первообразный корень из единицы

Примечания

Литература

• Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М. : Наука, 1965. — С. 188 и далее. — 299 с.
• Ван дер Варден Б. Л. . — СПб. : Лань, 2004. — 624 с. — ISBN 5-8114-0552-9 . от 4 марта 2016 на Wayback Machine
• Корень // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М. : Советская Энциклопедия , 1982. — Т. 3. — Стб. 15.
• Milne, James S. (неопр.) . Course Notes (1998). 2 апреля 2012 года.

Ссылки