Класс Штифеля — Уитни — определённый характеристический класс , соответствующий вещественному векторному расслоению ${\displaystyle E\rightarrow X}$ . Обычно обозначается через ${\displaystyle w(E)}$ . Принимает значения в ${\displaystyle H^{*}(X;\;\mathbb {Z} _{2})}$ , кольце когомологий с коэффициентами в ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ .

Компонента ${\displaystyle w(E)}$ в ${\displaystyle i}$ -х когомологиях ${\displaystyle H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})}$ обозначается ${\displaystyle w_{i}(E)}$ и называется ${\displaystyle i}$ -м классом Штифеля — Уитни расслоения ${\displaystyle E}$ , так что

${\displaystyle w(E)=w_{0}(E)+w_{1}(E)+w_{2}(E)+\ldots \,.}$

Классы ${\displaystyle w_{i}(E)}$ являются препятствиями в ${\displaystyle H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})}$ к построению ${\displaystyle (n-i+1)}$ -го линейно независимого сечения ${\displaystyle E}$ , ограниченного на ${\displaystyle i}$ -й остов ${\displaystyle X}$ .

Аксиоматическое определение

Здесь и далее, ${\displaystyle H^{i}(X;\;G)}$ обозначает сингулярные когомологии пространства ${\displaystyle X}$ с коэффициентами в группе ${\displaystyle G}$ .

Класс Штифеля — Уитни определяется как отображение, сопоставляющее расслоению ${\displaystyle E}$ элемент кольца гомологий ${\displaystyle w(E)}$ так, что выполняются следующие аксиомы:

1. Естественность : ${\displaystyle w(f^{*}E)=f^{*}w(E)}$ для любого расслоения ${\displaystyle E\to X}$ и отображения ${\displaystyle f:X'\to X}$ , где ${\displaystyle f^{*}E}$ обозначает соответствующее индуцированное расслоение над ${\displaystyle X'}$ .
2. ${\displaystyle w_{0}(E)=1}$ в ${\displaystyle H^{0}(X;\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}$ .
3. ${\displaystyle w_{1}(\gamma ^{1})}$ является образующей ${\displaystyle H^{1}(\mathbb {R} P^{1};\;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$ (условие нормализации). Здесь ${\displaystyle \gamma ^{1}}$ — это тавтологическое расслоение .
4. ${\displaystyle w(E\oplus F)=w(E)\smallsmile w(F)}$ ( формула произведения Уитни ).

Можно показать, что удовлетворяющие этим аксиомам классы действительно существуют и единственны (по крайней мере, для паракомпактного пространства ${\displaystyle X}$ )

Исходное построение

Классы Штифеля — Уитни ${\displaystyle w_{i}(E)}$ были предложены и Х. Уитни как приведение по модулю 2 классов, измеряющих препятствия к построению ${\displaystyle (n-i+1)}$ -го линейно независимого сечения ${\displaystyle E}$ , ограниченного на ${\displaystyle i}$ -й остов ${\displaystyle X}$ . (Здесь ${\displaystyle n}$ — размерность слоя ${\displaystyle F}$ расслоения ${\displaystyle E}$ ).

Более точно, если ${\displaystyle X}$ является CW-комплексом , Уитни определил классы ${\displaystyle W_{i}(E)}$ в ${\displaystyle i}$ -й группе ${\displaystyle X}$ с нестандартными коэффициентами.

А именно, в качестве коэффициентов берётся ${\displaystyle (i-1)}$ -я гомотопическая группа ${\displaystyle V_{n-i+1}(F)}$ наборов из ${\displaystyle n-i+1}$ линейно независимого вектора в слое ${\displaystyle F}$ . Уитни доказал, что для построенных им классов ${\displaystyle W_{i}(E)=0}$ тогда и только тогда, когда расслоение ${\displaystyle E}$ , ограниченное на ${\displaystyle i}$ -скелет ${\displaystyle X}$ , имеет ${\displaystyle n-i+1}$ линейно независимое сечение.

Поскольку гомотопическая группа ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)}$ многообразия Штифеля всегда или бесконечная циклическая, или изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ , существует каноническая редукция классов ${\displaystyle W_{i}(E)}$ к классам ${\displaystyle w_{i}(E)\in H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})}$ , которые и называются классами Штифеля — Уитни .

В частности, если ${\displaystyle \pi _{i-1}V_{n-i+1}(F)=\mathbb {Z} _{2}}$ , то эти классы просто совпадают.

Связанные определения

• Если мы работаем на многообразии размерности ${\displaystyle n}$ , то любое произведение классов Штифеля — Уитни общей степени ${\displaystyle n}$ может быть спарено с ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ -фундаментальным классом этого многообразия, давая в результате элемент ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ; такие числа называют числами Штифеля — Уитни векторного расслоения. К примеру, для расслоения на трёхмерном многообразии есть три линейно независимых числа Штифеля — Уитни, соответствующие ${\displaystyle w_{1}^{3}}$ , ${\displaystyle w_{1}w_{2}}$ и ${\displaystyle w_{3}}$ . В общем случае, если многообразие ${\displaystyle n}$ -мерно, различные числа Штифеля — Уитни соответствуют разбиениям ${\displaystyle n}$ в сумму целых слагаемых.
  • Числа Штифеля — Уитни касательного расслоения к гладкому многообразию называются числами Штифеля — Уитни этого многообразия. Они являются инвариантами кобордизма .
• Естественному отображению приведения по модулю два, ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} _{2}}$ , соответствует

  ${\displaystyle \beta \colon H^{i}(X;\;\mathbb {Z} _{2})\to H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} ).}$

Образ класса ${\displaystyle w_{i}}$ под его действием, ${\displaystyle \beta w_{i}\in H^{i+1}(X;\;\mathbb {Z} )}$ , называется ${\displaystyle (i+1)}$ -м целым классом Штифеля — Уитни .

• В частности, третий целый класс Штифеля — Уитни является препятствием к построению ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{C}}$ -структуры.

Свойства

• Если расслоение ${\displaystyle E^{k}}$ имеет ${\displaystyle s_{1},\;\ldots ,\;s_{\ell }}$ сечений, линейно независимых над каждой точкой, то ${\displaystyle w_{k-\ell +1}=\ldots =w_{k}=0}$ .
• ${\displaystyle w_{i}(E)=0}$ при ${\displaystyle i>\mathrm {rank} (E)}$ .
• Первый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль тогда и только тогда, когда расслоение ориентируемо. В частности, многообразие ${\displaystyle M}$ ориентируемо тогда и только тогда, когда ${\displaystyle w_{1}(TM)=0}$ .
• Расслоение допускает спинорную структуру , тогда и только тогда, когда первый и второй классы Штифеля — Уитни оба обращаются в ноль.
• Для ориентируемого расслоения, второй класс Штифеля — Уитни лежит в образе естественного отображения ${\displaystyle H^{2}(M,\;\mathbb {Z} )\to H^{2}(M,\;\mathbb {Z} _{2})}$ (или, что то же самое, так называемый третий целый класс Штифеля — Уитни обращается в ноль) тогда и только тогда, когда расслоение допускает ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{C}}$ -структуру.
• Все числа Штифеля — Уитни гладкого компактного многообразия ${\displaystyle X}$ обращаются в ноль тогда и только тогда, когда это многообразие является границей (без учёта ориентации) гладкого компактного многообразия.

Литература

• Прасолов В. В. Элементы теории гомологий.
• Husemoller D. Fibre Bundles. — Springer-Verlag, 1994.
• Милнор Дж. , Сташев Дж. Характеристические классы. — М. : Мир, 1979. — 371 с.

Примечания