В общей алгебре , термин кручение относится к элементам группы , имеющим конечный порядок, или к элементам модуля , аннулируемым регулярным элементом кольца.

Определение

Элемент g группы G называется элементом кручения , если он имеет конечный порядок , то есть существует натуральное n , такое что g ⁿ = e , где e обозначат нейтральный элемент группы. Группа называется периодической (или группой кручения ), если все её элементы являются элементами кручения, и группой без кручения , если единственный элемент кручения — нейтральный. Известно, что любая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел ; в частности, определение элемента кручения для неё можно переформулировать так: существует ненулевое целое число, такое что умножение на это число переводит данный элемент в ноль. Это мотивирует следующее определение:

Элемент m модуля M над кольцом R называется элементом кручения , если существует ненулевой регулярный элемент r кольца R (то есть элемент, не являющийся левым или правым делителем нуля ), аннулирующий m , то есть такой, что rm = 0. В случае работы с целостным кольцом предположение регулярности можно отбросить. Аналогичным образом определяются модуль кручения и модуль без кручения . В случае, если кольцо R коммутативно , можество всех элементов кручения модуля M образует подмодуль, называемый подмодулем кручения (в частности, для модуля над Z он называется подгруппой кручения ).

Более общо, пусть M — модуль над кольцом R и S — мультипликативно замкнутая система кольца. Элемент m модуля M называется элементом S-кручения , если существует элемент мультипликативной системы, аннулирующий m . В частности, множество регулярных элементов кольца является наибольшей мультипликативной системой.

Примеры

• Пусть M — свободный модуль над кольцом R , из определения немедленно следует, что M является модулем без кручения. В частности, векторные пространства не имеют кручения.
• В модулярной группе любой нетривиальный элемент кручения либо имеет порядок 2 и является сопряженным с S , либо имеет порядок 3 и является сопряжённым с ST . Элементы кручения здесь не образуют подгруппу: например, S · ST = T , а T имеет бесконечный порядок.
• Абелева группа ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ (которую можно представлять себе как группу поворотов окружности на угол, соизмеримый с длиной окружности) является группой кручения. Этот пример можно обобщить следующим образом: если R — коммутативное кольцо, а Q — его поле частных , то Q/R является группой кручения.
• Пусть задано векторное пространство V над полем F с линейным оператором . Если естественным образом рассматривать это пространство как F(x) -модуль, то этот модуль является модулем кручения (по теореме Гамильтона-Кэли, или просто из-за того, что пространство конечномерно).

Случай области главных идеалов

Пусть R — область главных идеалов , и M — конечнопорождённый R -модуль. Согласно соответствующей структурной теореме , этот модуль можно разложить в прямую сумму

${\displaystyle M\simeq F\oplus T(M),}$

где F — свободный R -модуль, а T ( M ) — подмодуль кручения модуля M . Для модулей, не являющихся конечнопорождёнными, такого разложения, вообще говоря, не существует: даже подгруппа кручения абелевой группы не обязательно является прямым слагаемым.

Кручение и локализация

Пусть R — область целостности с полем частных Q , а M — R -модуль. Тогда можно рассмотреть Q -модуль (то есть векторное пространство)

${\displaystyle M_{Q}=M\otimes _{R}Q.}$

Существует естественный гомоморфизм ${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$ из абелевой группы M в абелеву группу M _Q , и ядро этого гомоморфизма — в точности подмодуль кручения. Аналогично, для локализации кольца R по мультипликативной системе S

${\displaystyle M_{S}=M\otimes _{R}R_{S},}$

ядро естественного гомоморфизма — это в точности элементы S -кручения. Таким образом, подмодуль кручения можно понимать как множество тех элементов, которые отождествляются при локализации.

Кручение в гомологической алгебре

Понятие кручения играет важную роль в гомологической алгебре . Если M и N — модули над коммутативным кольцом R , функтор Tor позволяет получить семейство R -модулей Tor _i ( M , N ). При этом модуль S -кручения модуля M естественно изоморфен Tor ₁ ( M , R _S / R ). В частности, из этого сразу следует, что плоские модули являются модулями без кручения. Название Tor является сокращением от английского torsion (кручение).

Литература

• Ernst Kunz , Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry, Birkhauser 1985 — ISBN 0-8176-3065-1
• Irving Kaplansky , Infinite abelian groups, University of Michigan, 1954.
• Michiel Hazewinkel (2001), , in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer — ISBN 978-1-55608-010-4