Interested Article - Пространственный многоугольник

(Красные) рёбра представляют правильный зигзаг-многоугольник.

Пространственный многоугольник — многоугольник , вершины которого не компланарны . Пространственные многоугольники должны иметь по меньшей мере 4 вершины . Внутренняя поверхность таких многоугольников однозначно не определяется.

(апейрогоны) имеют вершины, не все из которых коллинеарны.

Зигзаг-многоугольник , или антипризматический многоугольник , имеет вершины, которые попеременно находятся на двух параллельных плоскостях, а потому, должны иметь чётное число сторон.

Правильный пространственный многоугольник в 3-мерном пространстве (и правильные в 2-двумерном) всегда являются зигзаг-многоугольниками.

Антипризматические пространственные многоугольники в 3-мерном пространстве

Однородная n -угольная антипризма имеет 2 n -сторонний правильный пространственный многоугольник, задаваемый рёбрами антипризмы.

Правильный пространственный многоугольник является изогональной фигурой с одинаковыми длинами сторон. В 3-мерном пространстве правильные пространственные многоугольники являются зигзаг-многоугольниками ( антирпизматическими многоугольниками ), вершины которых поочерёдно принадлежат двум параллельным плоскостям. Стороны n- антипризмы могут определять правильный пространственный 2 n -угольник.

Правильному пространственному n-угольнику можно дать обозначение {p}#{ } как смесь обозначений правильного многоугольника {p} и ортогонального отрезка { } . Симметрия между последовательными вершинами является скользящей .

Ниже в примерах показаны однородные квадратные и пятиугольные антипризмы. также образуют правильные пространственные многоугольники с различным способом соединения вершин верхней и нижней звёзд.

Правильные зигзаг-многоугольники
Пространственный квадрат	Пространственный шестиугольник	Пространственный восьмиугольник
{2}#{ }	{3}#{ }	{4}#{ }

sr{2,2}	sr{2,3}	sr{2,4}

Пространственный десятиугольник
{5}#{ }	{5/2}#{ }	{5/3}#{ }

sr{2,5}

Правильный сложный пространственный 2 n -угольник можно построить путём добавления второго пространственного 2 n -угольника, полученного вращением первого. В этом случае вершины каждого из составляющих 2 n -угольников лежат в вершинах .

Правильная комбинация пространственных зигзаг-многоугольников
Пространственные квадраты		Пространственные шестиугольники	Пространственные десятиугольники
Два {2}#{ }	Три {3}#{ }	Два {3}#{ }	Два {5/3}#{ }

Многоугольники Петри — это правильные пространственные многоугольники, задаваемые внутри правильных многогранников и политопов . Например, 5 платоновых тел содержат 4, 6 и 10-сторонние правильные пространственные многоугольники, как видно из этих ортогональных проекций (красными отрезками показана ). Тетраэдр и октаэдр включают все вершины в зигзаг-многоугольника и могут рассматриваться как антпризмы отрезков и треугольников соответственно.

имеет правильные грани или вершинные фигуры в виде правильных пространственных многоугольников. Имеется бесконечно много заполняющих всё пространство в 3-мерном пространстве и существуют косые многоугольники в 4-мерном пространстве, некоторые в виде .

вершинные фигуры трёх бесконечных правильных косых многоугольников
{4,6\|4}	{6,4\|4}	{6,6\|3}
Правильный косой шестиугольник {3}#{ }	Правильный косой квадрат {2}#{ }	Правильный косой шестиугольник {3}#{ }

Равноугольные пространственные многоугольники в 3-мерном пространстве

Изогональный пространственный многоугольник — это пространственный многоугольник с вершинами одного типа, соединёнными двумя типами сторон. Изогональные пространственные многоугольники с равными длинами сторон можно считать полуправильными. Они подобны зигзаг-многоугольникам на двух плоскостях, за исключением того, что сторонам позволяется как переходить на другую плоскость, так и оставаться на той же плоскости.

Изогональные пространственные многоугольники можно получить на n-угольных призмах с чётным числом сторон, попеременно двигаясь по сторонам многоугольника и между многоугольниками. Например, по вершинам куба — проходим вершины вертикально по красным рёбрам и по синим рёбрам вдоль сторон квадратов оснований.

Куб , квадрат-диагональ		Куб	Пересечённый куб
	Шестигранная призма	Шестигранная призма

Правильные пространственные многоугольники в 4-мерном пространстве

В 4-мерном пространстве правильные пространственные многоугольники могут иметь вершины на торе Клиффорда и связаны . В отличие от зигзаг-многоугольников, пространственные многоугольники двойного вращения могут иметь нечётное число сторон.

Многоугольники Петри правильного 4-мерного многогранника определяют правильные пространственные многоугольники. Число Кокстера для каждой группы симметрий Коксетера выражает, сколько сторон имеет многоугольник Петри. Так, это будет 5-сторонний многоугольник для пятиячейника , 8-сторонний для тессеракта и шестнадцатиячейника , 12 сторон для двадцатичетырёхячейника и 30 сторон для стодвадцатиячейника и шестисотячейника .

Если ортогонально спроектировать эти правильные пространственные многоугольники на , они превращаются в правильные огибающие многоугольники на плоскости.

A ₄ , [3,3,3]	B ₄ , [4,3,3]		F ₄ , [3,4,3]	H ₄ , [5,3,3]
Пятиугольник , Пентаграмма	Восьмиугольник		Двенадцатиугольник	Тридцатиугольник
пятиячейник {3,3,3}	тессеракт {4,3,3}	шестнадцатиячейник {3,3,4}	двадцатичетырёхячейник {3,4,3}	стодвадцатиячейник {5,3,3}	шестисотячейник {3,3,5}

n - n дуопризма и двойственная также имеют 2 n -сторонние полигоны Петри. ( тессеракт является 4-4 дуопризмой, а шестнадцатиячейник — 4-4 дуопирамидой.)

Шестиугольник		Десятиугольник		Двенадцатиугольник
3-3 дуопризма	3-3 дуопирамида	5,5-дуопризма

См. также

Примечания

В английской литературе — skew polygon, буквально — косой многоугольник . В русской литературе прижился термин пространственный многоугольник , а термин косой многоугольник соответствует термину skew polyhedron ( косой многогранник ).
Regular complex polytopes , p. 6
Abstract Regular Polytopes, p.217

Литература

Peter McMullen, Egon Schulte. // 1st. — Cambridge University Press , December 2002. — ISBN 0-521-81496-0 .
Robert Williams. Skew Polygons (Saddle Polygons). §2.2 // . — Dover Publications, Inc., 1979. — ISBN 0-486-23729-X .
H. S. M.Coxeter . Chapter 1. Regular polygons , 1.5. Regular polygons in n dimensions, 1.7. Zigzag and antiprismatic polygons , 1.8. Helical polygons . 4.3. Flags and Orthoschemes , 11.3. Petrie polygons // Regular complex polytopes. — 1974.
H. S. M.Coxeter . Разделы 2.6 Petrie Polygons с.24—25, Chapter 12, с.213—235, The generalized Petrie polygon // . — 3rd ed. — New York: Dover, 1973.
H. S. M. Coxeter, W. O. J. Moser. 5.2 The Petrie polygon {p,q}. // Generators and Relations for Discrete Groups. — New York: Springer-Verlag, 1980 (1st ed, 1957). — ISBN 0-387-09212-9 .
John Milnor . // Ann. Math. — 1950. — Т. 52 . — С. 248—257 .
. . — Technische Universität Berlin, 2006. — Июль. — arXiv : .