Кратчайшая — кривая в метрическом пространстве , соединяющая две его точки и не превосходящая по длине любую другую кривую с теми же концами.

Пространство с внутренней метрикой , в котором для любых двух точек существует соединяющая их кратчайшая, называется геодезическим; кратчайшие кривые в нём по определению являются геодезическими .

В полном пространстве с внутренней метрикой длина кратчайшей совпадает с расстоянием между её концами.

Теорема Хопфа — Ринова : в локально компактном пространстве с внутренней метрикой существует кратчайшая между любыми двумя точками.

В общем случае между точками метрического пространства кратчайшей может не существовать, но даже если она существует, её длина может превосходить расстояние между концами.

Согласно лемма Гаусса , в римановом многообразии любая кратчайшая естественной параметризацией является геодезической .

Литература

• Люстерник Л. А. . — Гостехиздат, 1955. — 104 с. — ( Популярные лекции по математике ). — 40 000 экз.