Теорема Дирихле о диофантовых приближениях гласит, что

Для любого вещественного числа ${\displaystyle \alpha }$ и натурального Q существуют целые p и q, ${\displaystyle 1\leqslant q\leqslant Q}$ , удовлетворяющие условию ${\displaystyle |\alpha q-p|<{\frac {1}{Q}}}$

Она является следствием принципа Дирихле . Теорема была доказана Дирихле в 1842 году.

Некоторые следствия

Пусть ${\displaystyle \alpha }$ — иррациональное число . Тогда существует бесконечное множество несократимых дробей ${\displaystyle {\frac {p}{q}},}$ неограниченно близких к ${\displaystyle \alpha }$ в следующем смысле :

${\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}}$

Практическое построение таких приближений несложно выполнить с помощью цепных дробей .

Вариации и обобщения

Принцип Дирихле позволяет доказать и более общую теорему:

для любых вещественных чисел ${\displaystyle \alpha _{1},...,\alpha _{n}}$ и натурального ${\displaystyle Q>1}$ существуют такие целые ${\displaystyle 0<q<Q,a_{1},...,a_{n}}$ , что ${\displaystyle |\alpha _{i}q-a_{i}|<{\frac {1}{\sqrt[{n}]{Q}}}}$

Примечания

Литература

• Нестеренко Ю. В. Теория чисел: учебник для студ. высш. учеб. заведений. — М. : Издательский центр "Академия", 2008. — 272 с. — ISBN 978-5-7695-4646-4 .